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mba數學math-1(編輯修改稿)

2026-03-23 08:33 本頁面

　

【文章內容簡介】 )(39。)(39。dddd)(39。00000xufxuuyxyxu????例：設 y= f (x2)，求 y39。 2023/09 32 微積分 ※ 求導數一般方法 ◇ 反函數求導若 y = f (x)嚴格單調、可導， y= f 39。(x) ≠0，則其反函數 x=?(y)在對應區間內也可導，且 ◇ 對數求導對于 y=f (x) g(x) ，先取對數，再兩端求導。 ◇ 隱含數求導對于 F(x, y)=0確定 y是 x的函數，由 F 39。(x, y)=0解得 y39。 2023/09 33 微積分 7．二階導數的概念及計算函數 f (x)的導數 f 39。(x) 的導數 f 39。39。(x)，稱為 f (x)的二階導數。 ※ 可推廣至 n 階導數 ※ 二階以上稱為高階導數 ? ?? ?xf n? ? 22dd39。39。39。39。xyxfy ??2023/09 34 微積分例：求下述函數導數 2023/09 35 微積分復習思考題： 1．導數是怎樣定義的？有怎樣的幾何意義？ 2．什么是導函數？ 3．導數存在的必要條件及充分條件是什么？ 4．求函數導數可利用哪些方法？ 5．高階導數的概念是什么？ 2023/09 36 微積分 8．導數的應用 ◇ 切線方程 ◇ 求極限 —— 羅必達法則 ◇ 函數的單調性及其判定 ◇ 極值概念及其判定 ◇ 函數圖像的凹凸性、拐點及其判定 ◇ 函數的最大值和最小值 2023/09 37 微積分 1）切線方程：函數 y= f (x)在點 (x0， y0) 的切線方程： yy0= f 39。(x0)(xx0) 例：某曲線方程為，求曲線上對應x=1處的切線方程。 2023/09 38 微積分 2）羅必達法則 xxxxxxxxxxxexxxxxxnxxxxsinlim)6(lim)5()ln11(lim)4(lnlim)3(1lim)2(39lim)1(11112023????????????????例：求極限：定理：當 x?*時， f (x) ?0(或 ?)， g(x) ?0 (或 ?)，有注：非此 2種情形結論，定理不成立。 2023/09 39 微積分 3）單調性判定函數 y= f (x) ： f 39。(x) 0單調增加； f 39。(x) 0單調減少 2023/09 40 微積分 4）極值 ———— 極大值、極小值 ※ 依駐點、導數不存在點 x0鄰域內導數符號變化判定。用一階導數判定： ① f 39。(xx0) 0? f 39。(xx0) 0， x0為極大值點； ② f 39。(xx0) 0? f 39。(xx0) 0， x0為極小值點用二階導數判定： ① f 39。39。(x0) 0—— ? x0為極小值點 ② f 39。39。(x0) 0—— ? x0為極大值點 ③ f 39。39。(x0) =0 —— ? 不能判定，改用一階導數或定義判定 2023/09 41 微積分 5）最值 —— 最大值、最小值存在位置：極值點，邊界點 6）曲線凹凸性、拐點：依二階導數符號性判定 ① f 39。39。(x) 0 —— ?上凹 ② f 39。39。(x) 0 —— ?下凹 ③ f 39。39。(x0) =0時， f 39。39。(xx0) 與 f 39。39。(xx0) 異號，則 x0為拐點。 ※ 函數單調性、極值、凹凸性均可采用三欄列表方式討論。 2023/09 42 微積分 2023/09 43 微積分例：求函數 f (x)=2x39x2+12x的單調區間、極值。解：基本步驟（ 1）求 f 39。(x)；（ 2）求駐點及無導數之點 xi；（ 3）按 xi劃分整個定義域區間；（ 4）列表討論： x f 39。(x) f (x) 2023/09 44 微積分求：凹凸區間及拐點步驟： (1) 求 f 39。39。(x) (2) 求 f 39。39。(x)=0或不存在之點 xi (3) 按 xi劃分定義區間 (4) 列表分析 x f 39。39。(x) f (x) 例：求函數 f (x)=x44x318x2+2x1的凹凸性及拐點。 2023/09 45 微積分 9．微分的概念及微分的應用若 y= f (x)在點 x0的某個鄰域內有定義，且 △ y= f (x0 +△ x) － f (x0)=A△ x+o(△ x) 其中 A是與 △ x無關的常數，則稱 y= f (x)在 x0點可微，并稱 A△ x 為 f (x)在 x0點的微分記作 dy| x0 = A△ x。 ※ 由于 ? ? 0lim0 ????? xxox所以 dy=f 39。 (x0) △ x 000 00( ) ( ) + ( )39。( ) l im l imxxf x x f x A x o xf x Axx? ? ? ??? ??? ? ???2023/09 46 微積分 ※ 微分的幾何意義 2023/09 47 微積分考慮到函數 y=x， dy = dx=y 39。△ x，而 y39。=1 所以有 dx=△ x 因此， dy =f 39。 (x0) dx 可微與可導的關系：函數可導即可微。 dd 39。( ) d 39。( )dyy A x f x x f xx? ? ? ? ? ? ?2023/09 48 微積分微分形式不變性例：求微分 dy。 3xey ? ? ?xexxeey xxx d3ddd 333 23 ???解：2023/09 49 微積分微分運算法則：四則運算：（ 1） d(u177。 v)=du177。 dv （ 2） d(uv)=udv+vdu （ 3） 2023/09 50 微積分微分應用 —— 近似計算例：求一個薄球殼（內半徑為 5米，殼厚）體積的近似值。（ v=4πr3 /3 ）解： △ v≈dv = v39。△ r =4πr2 dr ， dr =△ r r=5米， △ r = ∴ △ v≈dv ≈ ※ 另算： △ v=v1v0 = v=4π(r13 r03) /3 ≈

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