三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)及習(xí)題(編輯修改稿)

　

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 3 (1)已知 f(x)＝ sin x＋ 3cos x(x∈ R)，函數(shù) y＝ f(x＋ φ) ?? ??|φ|≤π2 的圖象關(guān)于直線 x＝ 0 對(duì)稱，則 φ 的值為 ________. (2)如果函數(shù) y＝ 3cos(2x＋ φ)的圖象關(guān)于點(diǎn) ?? ??4π3 ， 0 中心對(duì)稱，那么 |φ|的最小值為 ( ) A . π6 (1)π6 f (x)＝ 2sin π()3x? ， y＝ f(x＋ φ)＝ 2sin()3x ? ??? 圖象關(guān)于 x＝ 0 對(duì)稱， 即 f(x＋ φ)為偶函數(shù)． ∴ π3＋ φ＝ π2＋ kπ， k∈ Z， 即 φ＝ kπ＋ π6， k∈ Z， 所以 當(dāng) k＝ 0 時(shí)， φ＝ π6. (2)A 3cos 4(2 )3? ???＝ 3cos 2π(2π)3 ??? ＝ 3cos 2( ) 0,3? ??? ∴ 2π3 ＋ φ＝ kπ＋ π2， k∈ Z， ∴ φ＝ kπ－ π6， k∈ Z， 取 k＝ 0，得 |φ|的最小值為 探究提高 若 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)為偶函數(shù)，則當(dāng) x＝ 0 時(shí)， f(x)取得最大或最小值 . 若 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)為奇函數(shù)，則當(dāng) x＝ 0 時(shí)， f(x)＝ 0. 如果求 f(x)的對(duì)稱軸，只需令 ωx＋ φ＝ π2＋ kπ (k∈ Z)，求 x. 如果求 f(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令 ωx＋ φ＝ kπ (k∈ Z)即可 . 變式訓(xùn)練 3 (1)已知函數(shù) f(x)＝ sinx＋ acos x 的圖象的一條對(duì)稱軸是 x＝ 5π3 ，則函數(shù) g(x)＝ asin x＋ cos x 的最大值是 ( ) 23 33 63 由題意得 f(0)＝ f 10()3? ， ∴ a＝－ 32 － a2. ∴ a＝－ 33 , g(x)＝－ 33 sin x＋ cos x＝ 2 33 sin 2()3x ?? ， ∴ g(x)max＝ 2 33 . (2)若函數(shù) f(x)＝ asin ωx＋ bcos ωx (0ω5， ab≠0)的圖象的一條對(duì)稱軸方程是 x＝ π4ω，函數(shù) f′(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是 ?? ??π8， 0 ，則 f(x)的最小正周期是 ________. (1)B (2)π 由題設(shè) ， 有 π()4f ? ＝ 177。 a2＋ b2， 即 22 (a＋ b)＝ 177。 a2＋ b2， 由此得到 a＝ b. 又 ( ) 08f ?? ? ， 所以 aω(cos sin )88?? ??? ＝ 0， 從而 tan ωπ8 ＝ 1， ωπ8 ＝ kπ＋ π4， k∈ Z， 即 ω＝ 8k＋ 2， k∈ Z， 而 0ω5， 所以 ω＝ 2， 于是 f(x)＝ a(sin 2x＋ cos 2x)＝ 2asin(2 )4x ?? 故 f(x)的最小正周期是 π. 題型 八 三角函數(shù)的值域與最值的求法及應(yīng)用 例 3(1)求函數(shù) y＝ 2sinxcos2x1＋ sinx 的值域； (2)求函數(shù) y＝ sinxcosx＋ sinx＋ cosx 的最值； (3)若函數(shù) f(x)＝ 1 cos24sin( )2xx???－ asinx2cos(π－ x2)的最大值為 2，試確定常數(shù) a 的值． 【解析】 22 s in (1 s in )1 1 s inxxx??（ ） y= ＝ 2sinx(1－ sinx)＝ 2sinx－ 2sin2x＝－ 2(sinx－ 12)2＋ 12. ∵ 1＋ sinx≠0， ∴ － 1＜ sinx≤1.∴ － 4＜ y≤12. 故函數(shù) y＝ 2sinxcos2x1＋ sinx 的值域?yàn)?(－ 4，12]． (2)令 t＝ sinx＋ cosx，則 sinxcosx＝ t2－ 12 ，且 |t|≤ 2. ∴ y＝ 12(t2－ 1)＋ t＝ 12(t＋ 1)2－ 1， ∴ 當(dāng) t＝－ 1時(shí)， ymin＝－ 1；當(dāng) t＝ 2時(shí)， ymax＝ 2＋ 12. (3)f(x)＝ 2cos2x4cosx＋ asinx2cosx2＝12cosx＋a2sinx ＝ 14＋ a24sin(x＋ φ)， (其中 tanφ＝1a) 由已知得 14＋ a24＝ 2，解得 a＝ 177。 15. 【點(diǎn)評(píng)】 求三角函數(shù)的最值問(wèn)題，主要有以下幾種題型及對(duì)應(yīng)解法． (1)y＝ asinx＋ bcosx 型，可引用輔角化為 y＝ a2＋ b2sin(x＋ φ)(其中 tanφ＝ ba)． (2)y＝ asin2x＋ bsinxcosx＋ ccos2x 型，可通過(guò)降次整理化為 y＝ Asin2x＋ Bcos2x＋ C. (3)y＝ asin2x＋ bcosx＋ c 型，可換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)． (4)sinxcosx 與 sinx177。cosx 同時(shí)存在型，可換元轉(zhuǎn)化． (5)y＝ asinx＋ bcsinx＋ d(或 y＝ acosx＋ bccosx＋ d)型，可用分離常數(shù)法或由 |sinx|≤1(或 |cosx|≤1)來(lái)解決，也可化為真分式去求解． (6)y＝ asinx＋ bccosx＋ d型，可用斜率公式來(lái)解決． 例 4 已知函數(shù) f(x)＝ sin2x＋ acos2x(a∈ R， a 為常數(shù) )，且 π4是函數(shù) y＝ f(x)的一個(gè)零點(diǎn)． (1)求 a 的值，并求函數(shù) f(x)的最小正周期； (2)當(dāng) x∈ [0， π2]時(shí)，求函數(shù) f(x)的最大值和最小值及相應(yīng)的 x 的值． 【解析】 (1)由 π4是 y＝ f(x)的零點(diǎn)得 f(π4)＝ sinπ2＋ acos2π4＝ 0，求解 a＝－ 2， 則 f(x)＝ sin2x－ 2cos2x＝ sin2x－ cos2x－ 1＝ 2sin(2x－ π4)－ 1， 故 f(x)的最小正周期為 T＝ 2π2 ＝ π. (2)由 x∈ [0， π2]得 2x－ π4∈ [－ π4， 3π4 ]，則－ 22 ≤sin(2x－ π4)≤1， 因此－ 2≤ 2sin(2x－ π4)－ 1≤ 2－ 1，故當(dāng) x＝ 0時(shí)， f(x)取最小值－ 2， 當(dāng) x＝ 3π8 時(shí)， f(x)取最大值 2－ 1. 設(shè) a∈ R， f(x)＝ cosx(asinx－ cosx)＋ cos2(π2－ x)滿足 f(－ π3)＝ f(0)，求函數(shù) f(x)在 [π4， 11π24 ]上的最大值和最小值． 【解析】 f(x)＝ asinxcosx－ cos2x＋ sin2x＝ a2sin2x－ cos2x 由 f(－ π3)＝ f(0)得－ 32 a2＋ 12＝－ 1，解得 a＝ 2 3. ∴ f(x)＝ 3sin2x－ cos2x＝ 2sin(2x－ π6) 當(dāng) x∈ [π4， π3]時(shí)， 2x－ π6∈ [π3， π2]， f(x)為增函數(shù)． 當(dāng) x∈ [π3， 11π24 ]時(shí)， 2x－ π6∈ [π2， 3π4 ]， f(x)為減函數(shù)． ∴ f(x)在 [π4， 11π24 ]上的最大值為 f(π3)＝ 2 又 ∵ f(π4)＝ 3， f(11π24 )＝ 2 ∴ f(x)在 [π4， 11π24 ]上的最小值為 f(11π24 )＝ 2. 題型 九 分類討論及方程思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用 例題： 已知 函數(shù) f(x)＝－ 2asin??? ???2x＋ π6 ＋ 2a＋ b 的定義域?yàn)??? ??0， π2 ，函數(shù)的最大值為 1，最小值為－ 5， (1)求 a 和 b 的值 . (2)若 a＞ 0，設(shè) g(x)＝ f ?? ??x＋ π2 且 lg g(x)＞ 0，求 g(x)的單調(diào)區(qū)間． 點(diǎn)評(píng) ① 求出 2x＋ π6的范圍，求出 sin(2x＋ π6)的值域 .② 系數(shù) a 的正、負(fù)影響著 f(x)的值，因而要分 a0， a0兩類討論 .③ 根據(jù) a0或 a0求 f(x)的最值，列方程組求解 . 解 (1)∵ x∈ ?? ??0， π2 ， ∴ 2x＋ π6∈ ?? ??π6， 7π6 .∴ sin?? ??2x＋ π6 ∈ ?? ??－ 12， 1 ， ∴ － 2asin?? ??2x＋ π6 ∈ [－ 2a， a]． ∴ f(x)∈ [b,3a＋ b]， 又 ∵ － 5≤f(x)≤1， ∴ b＝－ 5,3a＋ b＝ 1， 因此 a＝ 2， b＝－ 5. (2)由 (1)得 a＝ 2， b＝－ 5， ∴ f(x)＝－ 4sin?? ??2x＋ π6 － 1， g(x)＝ f ?? ??x＋ π2 ＝－ 4sin?? ??2x＋ 7π6 － 1＝ 4sin?? ??2x＋ π6 － 1， 又由 lg g(x)＞ 0 得 g(x)＞ 1， ∴ 4sin?? ??2x＋ π6 － 1＞ 1， ∴ sin?? ??2x＋ π6 ＞ 12， ∴ 2kπ＋ π6＜ 2x＋ π6＜ 2kπ＋ 5π6 ， k∈ Z， 其中當(dāng) 2kπ＋ π6＜ 2x＋ π6≤2kπ＋ π2， k∈ Z時(shí)， g(x)單調(diào)遞增，即 kπ＜ x≤kπ＋ π6， k∈ Z， ∴ g(x)的單調(diào)增區(qū)間為 ?? ??kπ， kπ＋ π6 ， k∈ Z. 又 ∵ 當(dāng) 2kπ＋ π2＜ 2x＋ π6＜ 2kπ＋ 5π6 ， k∈ Z時(shí)， g(x)單調(diào)遞減，即 kπ＋ π6＜ x＜ kπ＋ π3， k∈ Z. 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 練習(xí)一 一、選擇題 1．對(duì)于函數(shù) f(x)＝ 2sinxcosx，下列選項(xiàng)正確的是 ( ) A． f(x)在 (π4， π2)上是遞增的 B． f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 C． f(x)的最小正周期為 2π D． f(x)的最大值為 2 【解析】 f(x)＝ sin2x f(x)在 (π4， π2)上 是遞減的， A錯(cuò)； f(x)的最小正周期為 π， C錯(cuò)； f(x)的最大值為 1， D錯(cuò)；選 B. 2．若 α、 β∈ (－ π2， π2)，那么 “α＜ β”是 “tanα＜ tanβ”的 ( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 【解析】 α、 β∈ (－ π2， π2)， tanx在此區(qū)間上單調(diào)遞增． 當(dāng) α＜ β時(shí)， tanα＜ tanβ；當(dāng) tanα＜ tanβ時(shí)， α＜ C. 3．已知函數(shù) f(x)＝ sin(ωx＋ φ)(ω0， |φ|π2)的最小正周期為 π，將該函數(shù)的圖象向左平移 π6個(gè)單位后，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則 f(x)的圖象 ( ) A．關(guān)于點(diǎn) ( π12， 0)對(duì)稱 B．關(guān)于直線 x＝ 5π12對(duì)稱 C．關(guān)于點(diǎn) (5π12， 0)對(duì)稱 D．關(guān)于直線 x＝ π12對(duì)稱 【解析】 由已知得 ω＝ 2，則 f(x)＝ sin(2x＋ φ) 設(shè)平移后的函數(shù)為 g(x)，則 g(x)＝ sin(2x＋ π3＋ φ)(|φ|π2)且為奇函數(shù) ∴ φ＝－ π3， f(x)＝ sin(2x－ π3) ∴ 圖象關(guān)于直線 x＝ 5π12對(duì)稱，選 B. 4．已知 f(x)＝ sinx， x∈ R， g(x)的圖象與 f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn) (π