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定積分與微積分基本定理(編輯修改稿)

2025-12-29 12:12 本頁面

　

【文章內容簡介】數學第十二節定積分與微積分基本定理 [ 典例 ] ( 1) ( 2020 山東高考 ) 由曲線 y ＝ x ，直線 y ＝ x － 2 及y 軸所圍成的圖形的面積為 ( ) A.103 B ． 4 C.163 D ． 6 ( 2) 10? － x 2 ＋ 2 x d x ＝ ________. 解答此類問題一般先畫出圖形分析！提醒思考該式的幾何意義是什么？備考基礎查清熱點命題悟通遷移應用練透課堂練通考點課下提升考能首頁上一頁下一頁末頁結束數學第十二節定積分與微積分基本定理 [ 解析 ] ( 1) 由 y ＝ x 及 y ＝ x － 2 可得， x ＝ 4 ，即兩曲線交于點 ( 4,2) ．由定積分的幾何意義可知，由 y ＝ x 及 y ＝ x － 2 及 y 軸所圍成的封閉圖形面積為 40? ( x － x ＋ 2) d x ＝????????23x32 －12x2＋ 2 x 40＝163. ( 2) 10?－ x2＋ 2 x d x 表示 y ＝－ x2＋ 2 x 與 x ＝ 0 ， x ＝ 1 及 y ＝0 所圍成的圖形的面積．由 y ＝－ x2＋ 2 x 得 ( x － 1)2＋ y2＝ 1( y ≥ 0) ，備考基礎查清熱點命題悟通遷移應用練透課堂練通考點課下提升考能首頁上一頁下一頁末頁結束數學第十二節定積分與微積分基本定理又 ∵ 0 ≤ x ≤ 1 ， ∴ y ＝－ x2＋ 2 x 與 x ＝ 0 ， x ＝ 1 及 y ＝ 0 所圍成的圖形為14個圓，其面積為π4. ∴ 10?－ x2＋ 2 x d x ＝π4. [ 答案 ] ( 1) C ( 2) π4 備考基礎查清熱點命題悟通遷移應用練透課堂練通考點課下提升考能首頁上一頁下一頁末頁結束數學第十二節定積分與微積分基本定理若將 ( 1) 中 “ y ＝ x － 2 ” 改為 “ y ＝－ x ＋ 2 ” ，將“ y 軸 ” 改為 “ x 軸 ” ，如何求解？解：如圖所示，由 y ＝ x 及 y ＝－ x ＋ 2 可得x ＝ 1. 由定積分的幾何意義可知，由 y ＝ x ， y ＝－ x ＋ 2 及 x 軸所圍成的封閉圖形的面積為20?f ( x )d x ＝ 10?x d x ＋ 21?( － x ＋ 2) d x ＝23x32 |10 ＋??????2 x －x22 |21 ＝76. 備考基礎查清熱點命題悟通遷移應用練透課堂練通考點課下提升考能首頁上一頁下一頁末頁結束數學第十二節定積分與微積分基本定理 [ 類題通法 ] 利用定積分求平面圖形面積的四個步驟 ( 1) 畫出草圖，在直角坐標系中畫出曲線或直線的大致圖像； ( 2) 借助圖形確定出被積函數，求出交點坐標，確定積分的上、下限； ( 3) 把曲邊梯形的面積表示成若干個定積分的和； ( 4) 計算定積分，寫出答案．提醒：利用定積分求平面圖形的面積，一定要找準積分上限、下限及被積函數，當圖形的邊界不同時，要分情況討論．備考基礎查清熱點命題悟通遷移應用練透課堂練通考點課下提升考能首頁上一頁下一頁末頁結束數學第十二節定積分與微積分基本定理求曲線 y ＝ x ， y ＝ 2 － x ， y ＝－13x 所圍成圖形的面積．解：由????? y ＝ x ，y ＝ 2 － x得交點 A ( 1,1) ．由????? y ＝ 2 － x ，y ＝－13x得交點 B (3 ，－ 1) ．故所求面積 S ＝???01??????x ＋13x d x ＋???13??????2 － x ＋13x d x ＝????????23x32 ＋16x2|10＋??????2 x －13x2|31＝23＋16＋43＝136. [ 針對訓練 ] 備考基礎查清熱點命題悟通遷移應用

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