等比數列解答題(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 y)=22在原點的二重極限和二次極限。2xy+(xy)0x4解：limf(x,y)=lim2=0。limf(x,y)=lim4=1，x174。0x174。0xx174。0x174。0xy=0y=x故二重極限不存在 ………………（5分）由limf(x,y)=x174。00=0，y185。0，可知limlimf(x,y)=0y174。0x174。0y2同理可知limlimf(x,y)=0。x174。0y174。0所以二次極限都存在且都等于0。…………（10分）[1,1]=1165。n解：e0,p206。N+,x206。C，n+pn+1n+2xxxun+1(x)+un+2(x)+L+un+p(x)=2+2+...+2(n+1)+(n+2)(n+p)163。(n+1)12+(n+2)12+...+(n+p)12n(n+1)(n+1)(n+2)11+...+(n+p1)(n+p)…（5分）nx2e1249。,nN,p206。N,x206。[1,1],x于是有e0,$N=233。e2+...++235。(n+1)(n+p)n+1n+pn即級數229。x2在[1,1]上一致收斂.………………（10分）n=1165。(1)n1xn的收斂域。=1165。an+1n1+1=n=1,\r=1=：Ql=lima=1nln+1n174。165。n當x=1時級數為229。(1)n=1165。n11,收斂；當x=1時級數為1,發散229。nnn=1165。故收斂域(1,1].……………（5分）逐項微分后冪級數229。(1)n1xn1，收斂半徑r=1,n=1165。當x=177。1時級數一般項不趨于0，發散，故收斂域為(1,1).………………（10分）{xn}, 0≤x 1.（1）求極限函數。（2）研究{xn}在[0,1)：（1）f(x)=limfn(x)=limxn=0…………………（5分）n174。165。n174。165。（2）limsupf(x)fn(x)=limsupxn=1185。0，n174。165。x206。Cn174。165。x206。C故{xn}在[0,1)上不一致收斂。…………………（10分），并求和。n=1n(n+1)165。axn解：對229。，l=limn+1，n174。165。ann=1n(n+1)165。1(n+1)(n+2)=lim=1, n174。165。1n(n+1)故收斂半徑r=1=1.……………（3分）l且x=177。1時級數均收斂，故收斂域為[1,1].………………（6分）xn111QS39。(x)=229。=2ln(1x),(0x1)，xxn=1(n+1)165。\S(x)=242。S39。(t)dt=1+0x1xln(1x),(0x1)x x=0236。0,239。1, x=1239。239。\和函數S(x)=237。12ln2, x=1………………（10分）239。239。1+1xln(1x),0x1239。x238。236。xtcostdt,x179。0239。，(x)=237。242。02239。x0238。x,(1)考察f(x)的連續性，寫出它的連續區間。(2)考察f(x)在x=0處是否可導，若可導求f39。(0).解：（1）f(0)=0,limf(x)=0,limf(x)=0，x174。+0x174。0故f(x)在x=0連續，連續區間為(165。,+165。).………………（5分）tcostdt242。f(x)f(0)0=lim=limxcosx=0，（2）f(0)=limx174。+0x174。+0x174。+0xx39。+xx2f(0)=lim=0x174。0x39。（10分）故f(x)在x=0處可導，f39。(0)=0.…………………(1)n1n()的收斂域。 n1+xn=1165。解：174。165。un+1(x)un(x)=limn11=…………（3分）n174。165。n+11+x1+x(1)當11,222。1+x1,即x0或x2時,原級數絕對收斂。…（5分）1+x11,222。1+x1,即2x0時,原級數發散。（7分）1+x(2)當165。236。(1)n收斂239。當x=0時,級數229。n239。n=1(3)當|1+x|=1,222。x=0或x=2,237。（9分）165。1239。當x=2時,級數發散。229。239。n=1n238。故級數的收斂域為(165。,2)200。[0,+165。).…（10分）(x)的一個原函數為sinx,求242。f(x)f162。(x)dx。1+xsinx解：設f(x)的一個原函數為F(x)，則162。2230。sinx246。cosxsinxf(x)=F39。(x)=231。 247。=(1+xsinx)…………..……（3分）1+xsinx232。248。于是242。f(x)f162。(x)dx=242。f(x)df(x)………..……（6分）=1f2(x)+C2(cosxsin2x)2=+C……………（10分）2(1+xsinx)(0xp)的絕對和條件收斂性。pnn=1165。解：當p1時，級數絕對收斂，……………（3分）當0p163。1，由Dirichlet定理知級數收斂，但cosnxnp165。cos2nx1cos2nx179。=+，np2np2np所以229。|cosnx|發散，即級數條件收斂，………………（7分）pnn=1當p163。0時，級數的一般項不趨于0，所以級數不收斂 ……………（10分）n19設|r|1，研究級數229。rcosnx的一致收斂性，并計算其和函數n=0165。S(x)在[0,2p]：un(x)=rcosnx163。r（常數），而229。r為收斂的正項級數，于是由M判別法知229。rncosnx在|r|1一致收斂.………………（3分）n=0165。 又因為每一項un(x)=rncosnx在R連續，于是有和函數S(x)在[0,2p]連續，且242。與229。可換序.…………（6分）\242。2p0S(x)dx=229。242。rcosnxdx=229。rn242。cosnxdx=2p…………（10分）nn=00n=00x1165。2p165。(x)=242。dx在[1,2]上的最大值、最小值。2x1dxdx1=0,x206。[1,2] , 解：QF39。(x)=dx242。12x12x1……………（4分）\f(x)在[1,2]上單增，最小值F(1)=0, ……………….（7分）最大值F(2)=242。212d(2x1)dx1=242。=1ln(2x1)22x1212x121=1ln3。…（10分）（如果收斂，說明是條件收斂還是絕對收斂）1）242。+165。1+165。xarctanx+165。sinxxcosxdx dx2）242。dx 3）242。3101+xx100+x1）解：242。+165。1+165。sint+165。sintsinxdxx=t242。2tdt=2dt 2242。11xtt而242。+165。1sintdt是條件收斂的。因此原積分條件收斂 t2）因為|242。u0cosxdx|163。2，而+165。x在[0,+165。)上單調趨向于0(x174。+165。)，因此由狄利克100+x雷判別法知242。0xcosxxcos2x1233。xxcos2x249。xcosx|179。=234。dx收斂。但是|100+x100+x2235。100+x100+x100+x242。+165。0+165。+165。xxcos2xxcosxdx發散，dxdx為條件收斂 收斂。因此242。242。00100+x100+x100+x條件收斂+165。p1xarctanxp1|163。dx收斂。因此原積分絕對收斂 3）|，而242。11+1)242。2lnxxdx。2)()=lim=lim(4x4)=0, 解：1）瑕點為x=0,lim1+++x174。0x174。0x174。0x4x1lnx3(p=,l=0)故242。dx收斂04x2）瑕點為x=1,lim(x1)+x174。12xx1x(p=1,l=1)故=lim=1,dx發散。242。+1x174。1lnxlnxlnx 165。(n!)2(i)229。(2n)!n=1ii）229。2+(1)2nn165。1iii)229。pn=2n(lnn)1）un+1[(n+1)!]2(2n)!(n+1)21lim=lim=lim=1,n174。165。un174。165。[2(n+1)]!(n!)2n174。165。(2n+1)(2n+2)4nn所以收斂2+(1)n1limun=lim=1,所以收斂n174。165。n174。165。222）n3）由于積分242。+165。2+165。d(lnx)+165。dudx=242。=242。pp2ln2up x(lnx)(lnx)p1時收斂，p163。1時發散，因此由積分判別法，級數p1時收斂，p163。165。x2+2x+2的收斂性，如果收斂，則計算廣義積分的值。+165。解：原式=242。+165。0+165。dxdxdxdx+=+242。0x2+2x+2242。165。1+(x+1)2242。01+(x+1)2 165。x2+2x+20+165。=p =arctg(x+1)0165。+arctg(x+1)0+165。1lnxdx的收斂性，如果收斂，則計算廣