畢業設計論文數學思想方法在解題中的應用(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 ，然后看兩圖像的交點個數即可． 解 令 86)( 2 ??? xxxf ，21)( ?xg． 在同一坐標系中畫出 )(xf 與 )(xg 的圖像，如下圖 ，由圖可知，原方程的實數解的個數為 3 個． 圖 例 4 當 m 為何值時，方程 mxx ??? 542 無解？有兩個實數解？有三個實數解？有四個實數解？ 分析 設 5421 ??? xxy ， my ?2 ，則該方程解的個數問題就轉化為兩個函數圖象的交點個數問題來處理，體現了數形結合的思想． 解 設 5421 ??? xxy ，則??? ??? ???? )0(54 )0(54221 xxx xxxy． my?2 ． 在同一坐標系中，作出兩函數的圖像，如下圖 所示，由圖可以看出： y 21)( ?xg 86)( 2 ??? xxxf 5 1 my ?2 my ?2 5421 ??? xxy y x O 2 1 5 4 2 3 1 O x 晉中學院數學學院 2021屆本科生畢業論文 (設計 ) 圖 當 1?m 時，兩函數圖像無交點，故原方程無解 ． 當 1?m 或 5?m 時，兩函數圖像有兩個交點，故原方程有兩個解． 當 5?m 時，兩函數圖像有三個交點，故原方程有三個解． 當 51 ??m 時，兩函數圖像有四個交點，故原方程有四個解． 由例題可見，數缺形時少 直觀，形缺數時難入微．數形結合的思想方法確切地反應了客觀事物深層次的內在聯系與矛盾統一的辯證規律． 分類討論的數學思想方法 在解答一些數學問題時，有時會遇到很多情況，需要對多種情況分類求解，將問題分為幾種情況，使條件具體化，難點分散，然后再對每種情況分類討論，最后各個擊破，在進行歸納總結，使原問題獲得解答，這就是分類討論的數學思想方法．實質上，它是＂化整為零，各個擊破，在積零為整＂的數學策略，有關分類討論的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性和搜索性，能訓練人的思維條理和概括能力． 例 5 已知 關于 x 的方程 01)2(2)1( 2 ????? xaxa 有實根，求 a 的取值范圍． 分析 題中并沒有指明關于 x 的方程式一元一次方程還是二次方程，所以應對 a進行討論． 解 當 012 ??a 時，原方程為一元一次方程，要使原方程有實根，則 02??a ．即??? ?? ?? 02 012aa 解之得： 1??a ． 當 012 ??a 時，原方程為一元二次方程，要使原方程有實根，則 0?? ． 即??? ?? ?? 0012a 解之得： 45??a 且 1??a ． 綜合得： a 的取 值范圍為 45??a ． 例 6 已知集合 ? ?RxxaxxA ?????? ,01)2(2 ，若 ??RA? Ф，求實數 a 的取值范圍． 分析 要求 a 的取值范圍，就需含有 a 的不等式，由 ??RA? Ф 知，方程 晉中學院數學學院 2021屆本科生畢業論文 (設計 ) xax )2(2 ?? 01?? 沒有正根，即方程可能無實數根，也可能僅有非正實跟，所以要對a 進行討論． 解 若 ?A Ф，即方程 01)2(2 ???? xax 無實數根，則 04)2( 2 ????? a ，解之得： 04 ??? a ． 若 ?A Ф，即方程 01)2(2 ???? xax 只有非正實數根，則 ??? ??? ????? 0)2( 04)2( 2aa ，解之得： 0?a ． 綜上可得， a 的取值范圍是 4??a ． 在進行分類討論時，對所給的研究對象進行正確的分類是關鍵 ．分類標準要統一，做到不重不漏，逐步進行討論，獲取間斷性成果，最后歸納小結出結果． 整體的數學思想方法 一個數學問題經過整體思維方法的處理，會變成另一個比原問題簡單、容易的數學問題．在運用整體思想方法時，要對問題的整體形式、整體結構以及問題的條件和在其中的地位和作用進行調節和轉化，已得到易于處理的新問題．一般，整體思想方法有以下幾種應用： ：把一些組合式子視為一個“整體”，并把它直接帶入另一式，避免局部運算的麻煩和困難． 例 7 若 a 是 0132 ??? xx 的根，試求 1 825222345 ? ??? a aaaa 的值． 分析 此題可以解出方程的根得出 a 的值，但會有帶根式的值，帶入后面要求解的式子會含有根式的高次方，比較麻煩．可以由題知 0132 ??? aa ，即 132 ?? aa ，aa 312 ?? .將兩式分別帶入即可求得結果． 解 由題知： 0132 ??? aa ，即 132 ?? aa ， aa 312 ?? ． 1 825222345 ? ??? a aaaa a aaaaa 3 8)13(2 2423 ????? aaa 3 )8( 22 ?? 晉中學院數學學院 2021屆本科生畢業論文 (設計 ) 3 )813( ??? aa )3( ?? aa 1?? 整體帶入思想處理問題 ,即對原問題的尾部進行＂積零為整＂的處理，使其形式和方法上得到簡化． ：把所求式的值或某些量的組合確定為一個＂字母＂后，問題轉化為對這個＂字母＂的研究． 例 8 一個六位數，若將它的末位數字移到首位，所得的新數是原數的五倍．求這個六位數． 分析 要按常規解答，會難于下手．認真觀察題，可知它的末尾數字移動了，其他數字的順序沒發生變化，所以可把末位數字單列，其它的視為整體，即可求解． 解 設前五位數為 x ，末位的數為 y ． xyyx ??? 510)10(5 xy 49)510( 5 ?? yx 714285? 由于 14285 不能被 7 整除，所以 y 必是 7 的倍數， y 是個位數，所以 y 是 7, 則 x 是 14285. 所以這個六位數為 142857. ：對有的數學問題，根據式子本身的特點，相應地配出與之相對稱的式子，以便解題簡便 ． 例 9 求 ???? ?? 50c o s20s i n2 5 0c o s2 2 0s i n 22 的值． 分析 要求式子的值，如果挨個計算，會比較復雜．仔細看題目，我們會聯想到1cossin 22 ?? xx 的公式，所以我們在配一個式子就會容易求解． 解 令 ???? ??? 50c o s20s i n250c o s220s i n 22x ， ???? ??? 50s i n20c o s250s i n220c o s 22y ,則 晉中學院數學學院 2021屆本科生畢業論文 (設計 ) ??????????????70s i n2170s i n2yxyx )2()1( , )2()1( ? 得 43?x ． 所以原式的值為 43 ． 類比的數學思想方法 類比法就是根據兩種不同的數學對象之間在某方面相似或相同，從而推出它們在其它方面也可能相似或相同的推理方法． 例 10 解方程組 ????????842xzyzxy )3()2()1( 分析 此方程組與???????????842zxzyyx )6()5()4( 結構類似，而解這個方程組有一個辦法就是 )6()5()4( ?? 化解得 7??? zyx ，然后與 )4( 、 )5( 和 )6( 分別做減法，就得到了方程的解．將此方程組與例題進行類比，可看出例題中每一個方程都是兩個未知數的積，而上面這個方程都是兩個未知數的和，它的解題過程為“先加后減”，于是我們就想到用“先乘后除”的方法． 解 )3()2()1( ?? 化解的 8??xyz ，然后與 )1( 、 )2( 和 )3( 分別做除法得： ????????412zyx或???????????412zyx． 經檢驗符合題意，所以原問題的解為????????412zyx或???????????412zyx． 值得注意的是類比的結論有可能對，也有可能錯．因此，類比的結論須經過一定 晉中學院數學學院 2021屆本科生畢業論文 (設計 ) 的嚴格論證才能確定它的正確性． 轉化與劃歸的數學思想方法 利用轉化劃歸思想解題的過程就是把所要解決的數學問題轉化劃歸為一類已經熟悉的問題或比較容易解決的問題，通過條件的轉化，結論的轉化，化難為易，化繁為簡，最終使問題得到解決． 例 11 解不等式 5512 ???xx ． 分析 解分式不等式時，我們將不等式的一端化為 0， 然后將分式不等式通過等價轉化成一元二次不等式，從而求解．這里的等價轉化就是轉化劃歸的思想．體現在數學中就是將問題變形，使之實現轉化，最終求解． 解 原不等式可化為： 05253 ???xx ， 等價于 0)253)(5( ??? xx ， 解之得 5325 ???? x ． 所以原不等式的解集為： ?????? ???? 5325 xRxx 且－ ． 換元的數學思想方法 在解答數學問題中，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使原來的問題得到簡化，這種方法叫做換元法． 例 12 實數 a， b， c 滿足 1??? cba .求 222 cba ?? 的最小值． 分析 由 1??? cba 想到中值換元，將 a， b， c 分別進行換元，然后求原式的最小值． 解 設131 ta ??，231 tb ??，331 tc ??，其中 0321 ??? ttt ．則 222 cba ?? ＝ 232221321 )(3231 tttttt ?????? 23222131 ttt ???? 晉中學院數學學院 2021屆本科生畢業論文 (設計 ) 31? 所以 222 cba ?? 的最小值為31． 3 數學思想方法教學的研究 數學思想方法教學的目前情況 數學思想方法作為數學教育的重要內容，已日益引起人們的注意，這與教育越來越重視學生的能力培養與素質提高有著密切的關系。但是，在中小學數學教材中 ,數學思想方法滲透其間 ,由于長期以來，數學教學受“傳道、授業、解惑”的傳統教學觀念影響很深，以傳授知識為目標的教學觀點和模式在相繼沿襲中形成，加上歷史的長期沉淀以及各種因素的牽聯，變得相當穩固，在數學教學過程中只注重知識的傳授，往往忽略對數學思想方法的教學時機的把握，并沒有系 統的歸納和總結數學思想方法 ,也沒有充分的講解和討論．對怎樣挖掘基礎知識中的數學思想方法，如何自覺的滲透數學思想方法的教學，如何堅持不懈地培養學生數學思想方法的應用意識 ,缺乏系統的探究 ,致使學生對基礎知識的學習僅限于理解概念、死記公式定理，模仿性解答題目．然而，數學思想方法具有普遍性，掌握好數學思想，比掌握好形式化的數學知識更加重要，它在人的能力培養和素質提高方面具有重要作用，這些淺層次水平上很難培養出高素質的創新人才 ,所以在教學中要有意識地恰當地講解與滲透數學基本思想方法。 數學思想方法教學的原則 美國心理學家布魯納在強調學習學科的基本理論和觀念時指出：“懂得基本原理和應遵循的原則會使學科更易理解”，“領會基本原理會通向適當的訓練遷移的大道，會縮小‘高級’和‘初級’知識的差距。”因此在數學思想方法的教學中，我們不僅要遵循通常的數學教學的基本原則，還要遵循以下五條基本原則． 既然數學思想方法被納入數學基礎知識的范疇，那么數學課堂教學應該有數學思想方法的教學目標，在目前中小學數學教學中，數學思想方法教學尚未得到全面落實，其主要原因之一是數學思想方法教學的目標不明確，操作性不強。因此，遵循數 學思想方法教學的目標性原則，首先要明晰教材中所有數學思想方法，然后結合具體的數學教學內容特點，確定每節教材思想方法的目標內容，將思想