金融學專業三大悖論(編輯修改稿)

　

【文章內容簡介】 很大的貢獻：首先，邏輯主義者以集合論為基礎進行數學研究，為了避免悖論，他們必須做使邏輯嚴格化的工作，這就直接促進了邏輯的數學化。所以，《數學原理》是用數學方法研究邏輯取得的高度成就，正是在這個意義上，它常被說成是數理邏輯成熟的標志。其次，羅素的理論對后來研究者產生重大影響，公理化集合論就是沿著他的方向發展起來的。羅素的分層思想對后來的數理邏輯學家也有極大的啟示:塔爾斯基就是沿著羅素開辟的道路對語言進行分層處理，對數理邏輯的發展做出重大貢獻。二 悖論與直覺主義學派與此同時，在數學基礎這一研究領域中，出現了一種與邏輯主義完全對立的數學思想：把直覺當作數學最根本的基礎，全然否認數學構造中有邏輯的作用，認為所有的數學對象和定理都是從原始直覺出發能行地構造出來的，這就是數學基礎問題上的另一主要流派一一直覺主義。直覺主義者傾向于歡迎悖論的到來，因為悖論似乎使他們樂于去證明非直覺主義數學的虛弱。第一個對數學采取自覺的直覺主義的是德國數學家克隆尼克，但他并沒有對此進行系統的闡述，所以沒有得到其他人的支持。他曾經預言說：“假如我不做這件事，追隨我的人也會去實行”，但追隨者并沒有很快出現。直到1901年羅素悖論的出現，使數學界出現了混亂，從而為直覺主義新的崛起創造了條件。1907年，直覺主義的代表人物布勞威爾在他的博士論文中初步制定了直覺主義綱領，他認為要解決集合論悖論問題，必須改變人們對一些邏輯基本法則，特別是排中律的絕對普適性認識。從“存在必須等于被構造”的要求出發，布勞威爾對邏輯法則的有效性進行直接的分析：由于邏輯法則的應用并不能保證相應構造的可實現性，因此邏輯法則在數學中的應用并不總是有效的。而且布勞威爾認為經典邏輯是從有限性對象中抽象出來的，不能無限制的推廣到無限對象，而悖論恰恰就出現在無限問題上，而排中律只是在有限的領域內起作用的法則，一涉及無限的領域，排中律便不再有效。所以，直覺主義者認為實在無限觀念是悖論產生的深刻根源。因此，直覺主義正是從“數學活動是一種心智構造”出發，導致了對排中律的拒絕。其次，由于堅持構造性的立場，布勞威爾認為數學直覺具有無可爭辯的可信性、可靠性，因而數學只要根基于其上，便可避免悖論的產生。所以直覺主義對已有的經典數學采取否定態度，使已有的數學知識支離破碎。為什么直覺主義采取如此極端的手段呢?因為直覺主義者認為：悖論在集合論中的出現不是偶然的事，實質上是整個數學所感染的疾病的一個癥狀，即數學的“不可靠性”，如果不從根本上清除傳統數學，便不足以克服悖論。因此，直覺主義者不滿足于對已有數學的某些部分作一些限制性的限制和修改，而是要依據“可靠性”標準對已有數學進行徹底的審查和改造。于是，直覺主義者對已有數學進行了強烈的批判：他們認為，已有的數學理論并不都是可靠的，因此必須按照某種更為嚴格的要求對此進行全面審查，而且毫不猶豫的舍棄“不可靠”的概念和方法并代之以“可靠”的概念和方法。由此可見，直覺主義是要革傳統數學的命。最后，直覺主義者雖然否定不符合構造性要求的古典數學命題的有效性，但他們仍然認為這些命題具有一定的啟發作用。因此直覺主義者就是依據“構造性”標準來重建數學，即“直覺主義數學”。與邏輯主義不同的是布勞威爾是以自然數理論而不是以集合論為基礎開展他的直覺主義數學理論的，并且直覺主義者也發展了自己的邏輯系統，直覺主義的命題演算系統和一階謂詞演算系統是由黑丁于1935和1956分別做出的。所以，直覺主義者避免悖論的方法事實上依賴十他們關十心靈之“構造”這一含糊哲學，用“構造”的思想構建邏輯與數學系統。為了避免悖論，把“直覺上的可構造性”作為數學“可靠性”的唯一標準，對古典數學絕對否定，造成了數學的支離破碎，并目作為悖論的解決方案，這個要求已經相當弱了，但即使這個目標也沒有完全達到。但我們不能否認直覺主義者做出的貢獻，因為他們第一次完整地建立了一個構造性的數學系統，而構造性數學已經成為現代數學理論的有機組成部分。而且由于人們和直覺主義的多次論戰，逐漸了解直覺主義的說法在于注重能行性，因為構造的基本要求，即“能行性”。正是這種想法產生了能行性理論，從而促進了數理邏輯的另一分支遞歸論的形成和發展。另外，形式主義學派的代表人物雖然對直覺主義者進行批判，但在一定程度上接受了他們的構造性思想，這對希爾伯特的形式化研究綱領起了至關重要的作用，而形式主義學派是我們將要討論的內容。三 悖論與形式主義學派集合論中發現的悖論表明，甚至那些看上去簡單并且自明的正確的基本原則也可能包含暗藏的矛盾。這使人們將注意力集中到一致性問題上來。所以，為解決數學基礎中出現的悖論問題，形式主義采取了與邏輯主義和直覺主義不同的方法：他們企圖構造一個無矛盾的，完備的，可判定的形式系統，數學的各個分支及所有證明全部形式化，使數學本身成為數學研究對象，以達到證明數學的一致性，從而避免了悖論，這就是著名的“希爾伯特規劃”。希爾伯特規劃的提出有一個較長的歷史過程：1899年，希爾伯特在《集合基礎》這一著作中，不僅為數學提供了新的研究方法一一形式的公理化研究方法，同時還為數學開辟了新的研究領域“元數學”，為“希爾伯特規劃”提出打下了基礎。由十1901年羅素悖論的發現，使希爾伯特把注意力放到數學基礎上來。經過認真研究，希爾伯特不同意直覺主義拒斥大部分古典數學的主張，他認為完全可以在保留現有數學成果的條件下解決悖論問題，無須犧牲古典數學中有價值的部分。那么，怎樣解決悖論問題呢?希爾伯特曾經指出，如果要避免悖論，就必須在某種程度上同時進行邏輯定律和算術定律的研究。這種研究的目的即證明數學理論的相容性(無矛盾勝)，因為如果數學理論的相容性得到了證明，悖論就自然排除了，這也是所謂的“海德堡計劃”。在該計劃中，希爾伯特第一次提出應把數學證明本身作為數學研究對象的思想，創建了數理邏輯的第一個分支“證明論”的思想，開了把數學理論系統作為對象的“元數學”的先河。1922年作為對直覺主義向古典數學挑戰的回應，希爾伯特提出了基礎研究規劃：首先將數學理論組織成形式系統，然后再用有限的方法證明這一系統的無矛盾性。這一規劃可以看成是證明論思想的進一步發展和深化。盡管希爾伯特對直覺主義進行批判，但在一定程度上接受了他們的構造性思想，只不過這種構造性是對證明論(元數學)的要求。這種思想體現在1925年《論無限》中，希爾伯特與直覺主義者相仿，認為絕對可靠性只存在于有限的范疇，為保證數學的可靠性，避免悖論的出現，必須堅持“有限性”的立場。(但是，他認為可以把非有限的成分作為“理想元素”引入到數學中，不但使證明簡化，還使排中律法則得以保存。)所以，希爾伯特把數學分成兩個不同部分：“真實的數學”和“理想元素”。由于理想數學認為是不具有意義的，希爾伯特提出必須把理想數學組織成形式系統的思想。在形式系統中，把數學對象徹底的符號化和演算化，這樣就可以保留古典數學的成果。但為保證理想元素不會導致錯誤，必須對這種工具的構造進行徹底研究，即證明形式系統的一致性，這也是證明論思想的進一步深化。這樣，希爾伯特就站在有限性的立場上，企圖通過將數學理論形式公理化并證明形式系統的一致性來避免悖論的產生，并保住現存數學的全部成果。所以，希爾伯特的最終目標是構造一個無矛盾的、可判定的、完備的、范疇性的形式系統，其中可證命題集恰好與直覺上為真的數學命題集相對應，而上述證明又可以在一個僅僅包含一般遞歸函數，性質和關系的算術部分中得出，即可以用有限的方法實現，這就是希爾伯特規劃的目地。希爾伯特對此計劃充滿信心，并目斷言，要得出形式化算術系統無矛盾性證明為期不遠了。后來幾年形勢確如他愿，1928年希爾伯特和他的學生阿克曼用有限性方法證明了一階邏輯的相容性，邁出了重大一步。于是，希爾伯特說出了與直覺主義觀點針鋒相對的名言：“要想從數學家手中奪走排中律，就像奪去天文學家的望遠鏡或禁止拳擊家用拳頭一樣。”作為悖論的一種解決方案考慮，如果希