高中數學412圓的一般方程教案新人教a版必修2(編輯修改稿)

2026-01-13 20:20 本頁面

　

【文章內容簡介】要化為x2+y2+Dx+Ey+F=0 的形式 ,再利用條件 D2+E24F 與 0的大小判斷 ,不能直接套用 .另外 ,直接配方也可以判斷 . 變式訓練求下列圓的半徑和圓心坐標： (1)x2+y28x+6y=0。(2)x2+y2+2by=0. 解 :(1)把 x2+y28x+6y=0配方 ,得 (x－ 4)2＋ (y+3)2=52,所以圓心坐標為 (4,3),半徑為 5； (2)x2+y2+2by=0配方 ,得 x2＋ (y+b)2=b2,所以圓心坐標為 (0,b),半徑為 |b|. 例 2 求過三點 O(0,0)、 M1(1,1)、 M2(4,2)的圓的方程 ,并求圓的半徑長和圓心坐標 . 解 :方法一：設所求圓的方程為 x2+y2+Dx+Ey+F=0,由 O、 M M2在圓上 ,則有 ??????????????.02024,02.0FEDFEDF 解得 D=8,E=6,F=0, 故所求圓的方程為 x2+y28x+6y=0,即 (x－ 4)2＋ (y+3)2= (4,3),半徑為 5. 方法二：先求出 OM1的中點 E(21 ,21 ),M1M2的中點 F(25 ,23 ), 再寫出 OM1 的垂直平分線 PE 的直線方程 y21=(x21), ① AB 的垂直平分線 PF 的直線方程 y23=3(x25), ② 聯立 ①② 得??? ?? ?? ,93 ,1yx yx得??? ??? .3,4yx則點 P的坐標為 (4,3),即為圓心 .OP=5為半徑 . 方法三：設所求圓的圓心坐標為 P(a,b),根據圓的性質可得 |OP|=|AP|=|BP|, 即 x2+y2=(x1)2+(y1)2=(x4)2+(y2)2,解之得 P(4,3),OP=5為半徑 . 方法四：設所求圓的方程為 (x－ a)2＋ (y－ b)2=r2,因為 O(0,0)、 A(1,1)、 B(4,2)在圓上 ,所以它們的坐標是方程的解 .把它們的坐標代入上面的方程 ,可以得到關于 a、 b、 r的方程組 ,即 ???????????????.)2()4(,)1()1(222222222rbarbarba 解此方程組得?????????.5,3,4rba 所以所求圓的方程為 (x－ 4)2＋ (y+3)2=52,圓心坐標為 (4,3),半徑為 5. 點評：請同學們比較 ,關于何時設圓的標準方程 ,何時設圓的一般方程 .一般說來 ,如果由已知條件容易求圓心的坐標、半徑或需要用圓心的坐標、半徑列方程的問題 ,往往設圓的標準方程；如果已知條件和圓心坐標或半徑都無直接關系 ,往往設圓的一般方程 . 例 3 已知點 P(10,0),Q 為圓 x2+y2=16上一動點 .當 Q 在圓上運動時 ,求 PQ的中點 M 的軌跡方程 . 活動 :學生回想求曲線方程的方法與步驟 ,思考討論 ,教師適時點撥提示 ,本題可利用平面幾何的知識 ,見中點作中線 ,利用中線定長可得方程 ,再就是利用求曲線方程的辦法來求 . 圖 1 解法一 :如圖 1,作 MN∥OQ 交 x軸于 N, 則 N為 OP的中點 ,即 N(5,0). 因為 |MN|=21 |OQ|=2(定長 ). 所以所求點 M的軌跡方程為 (x5)2+y2=4. 點評 :用直接法求軌跡方程的關鍵在于找出軌跡上的點應滿足的幾何條件 ,然后再將條件代數化 .但在許多問題中 ,動點滿足的幾何條件較為隱蔽復雜 ,將它翻譯成代數語言時也有困難 ,這就需要我們探討求軌跡問題的新方法 .轉移法就是一種很重要的方法 .用轉移法求軌跡方程時 ,首先分析軌跡上的動點 M的運動情況 ,探求它是由什么

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