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高考數學第一輪復習——立體幾何(二)(理)(編輯修改稿)

2025-09-12 15:14 本頁面

　

【文章內容簡介】 AN⊥ CM，垂足為 N，連結 BN 在 PABRt? 中， AM=MB，又 AC=CB ∴ △ AMC≌△ BMC ∴ BN⊥ CM，且 BN=AN，故∠ ANB為所求二面角的平面角 ∵ CB⊥ AC，由三垂線定理，得 CB⊥ PC 在 PCBRt? 中， CM=MB，所以 CM=AM 在等腰三角形 AMC中， ACACCMMCAN ??????????222 ∴ BNAN ???? 5625223 ∵ AB=2 ∴ 322c os 222 ???? ???? BNAN ABBNANA NB 故所求二面角余弦值為 32? [例 10] 如圖，在三棱錐 S— ABC中，△ ABC是邊長為 4的正三角形，平面 SAC⊥平面 ABC，SA=SC= 32 ， M， N分別為 AB， SB 的中點。第 10 頁版權所有不得復制（ 1）證明： AC⊥ SB；（ 2）求二面角 N— CM— B的正切值；（ 3）求點 B到平面 CMN的距離。解析：（ 1）取 AC 中點 D，連結 SD， DB，∵ SA=SC， AB=BC ∴ AC⊥ SD且 AC⊥ BD ∴ AC⊥平面 SDB，又 SB? 平面 SDB ∴ AC⊥ SB （ 2）∵ AC⊥平面 SDB， AC? 平面 ABC ∴ 平面 SB⊥平面 ABC，過 N作 NE⊥ DB于 E，則 NE⊥平面 ABC；過 E作 EF⊥ CM于 F，連結 NF，則 NF⊥ CM ∴ ∠ NFE為二面角 N— CM— B的平面角 ∵ 平面 SAC⊥平面 ABC， SD⊥ AC ∴ SD⊥ 平面 ABC 又 ∵ NE⊥平面 ABC ∴ NE//SD ∵ SN=NB ∴ 222121 ADSASDNE ??? 241221 ??? ，且 ED=EB 在正△ ABC中，由平面幾何知識可求得 EF=41 MB=21 在 NEFRt? 中， 22tan ??? EFENNE F 22tan ??NEF （ 3）在 NEFRt? 中， 2322 ??? ENEFNF ∴ 32321 ???? NFCMS C M N， 3221 ???? CMBMS C M B 設點 B到平面 CMN的距離為 h ∵ CMBNCMNB VV ?? ? ， NE⊥平面 CMB ∴ NEShSC M BC M N ??? ?? 3131 ∴ 3 24??? ?? CM NCM BS NESh 即點 B到平面 CMN的距離為 324 第 11 頁版權所有不得復制 [例 11] 如圖所示，正方體 ABCD— A1B1C1D1的棱長為 a ， E， F分別是 BB CD的中點。（ 1）求證： AD⊥ D1F；（ 2）求 AE 與 D1F所成角的大??；（ 3）求點 F到平面 A1D1E的距離。解析：（ 1）證明： ∵ ABCD— A1B1C1D1為正方體 ∴ AD⊥平面 D1DCC1 ∵ D1F?平面 D1DCC1 ∴ AD⊥ D1F （ 2）取 AB 的中點 G，連結 FG， AG， A1G與 AE 交于點 M ∵ F為 DC的中點 ∴ FG//AD，且 FG=AD ∴ FG//A1D1，且 FG=A1D1 ∴ 四邊形 A1GFD1為平行四邊形， GA1//D1F， A1G=D1F ∴ A1G與 AE 所成的角就是 AE 與 D1F所成的角在正方形 A1ABB1中， G、 E分別為 AB， BB1的中點 ∴ △ A1AG≌△ ABE，∠ AA1G=∠ BAE ∴ ∠ AMA1=90176。 ∴ AE 與 D1F所成的角為 90176。（ 3）在（ 2）中已證 FG//A1D1 ∴ FG//平面 A1D1E ∴ G點到平面 A1D1E的距離就是 F點到平面 A1D1E的距離過點 G作 GH⊥ A1E于點 H，連結 EG ∵ A1D1⊥平面 A1ABB1 ∴ A1D1⊥ GH ∴ GH⊥平面 A1D1E ∴ GH為所求距離 ∵ 111111 121 AEBG B EAGAABBAECA SSSSGHEAS ???? ?????? ∴ aGH 1053? ，即 F點到平面 A1D1E的距離為 a1053 [例 12] 如圖， ?? ??l 為 60176。的二面角，等腰直角三角形 MPN 的直角頂點 P 在 l 上，??M ， ??N ，且 MP 與 ? 所成的角等于 NP與 ? 所成的角。第 12 頁版權所有不得復制（ 1）求證： MN分別與 ? 、 ? 所成角相等；（ 2）求 MN與 ? 所成角。（ 1）證明：作 NA⊥ ? 于 A， MB⊥ ? 于 B，連接 AP、 PB、 BN、 AM，再作 AC⊥ l 于

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