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關于冪零矩陣的幾個注記(編輯修改稿)

2025-09-16 00:25 本頁面

　

【文章內容簡介】引理 8 如果 A 是一個 nn? 矩陣， rank( ) 1A ? 時，則（ 1）1212( , , , )nnaaA b b ba?????????????；（ 2） 2A kA? ．證明（ 1）因為 rank( ) 1A ? ，所以存在可逆矩陣 ,PQ使得 1000PAQ ???????，即 1 1 1 111 0 0 ( 1 , 0 , , 0)000A P Q P Q? ? ? ?????????????????????，若記121100 naaPa???????????????????????? ??， 1 12(1 , 0 , , 0) ( , , , )nQ b b b? ?，則1212( , , , )nnaaA b b ba?????????????．（ 2）由（ 1）所證，記1niiik ab???，則 6 1 1 12 2 221 2 1 2 1 21( , , , ) ( , , , ) ( ) ( , , , )nn n i i nin n na a aa a aA b b b b b b a b b b ba a a?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? 1212( , , , )nnaak b b b kAa??????????????．引理 9[2] 對任何 n 階矩陣 ,AB，有 tr( ) 0AB BA??． 3 幾個注記 n? 冪零矩陣的一個命題在本節，我們將把引言部分題目中蘊涵的結論進行推廣，給出一個一般性命題：定理 1 設 A 是 n 階矩陣， 1? 是 n 維非零列向量，如果 0nA? ， 1 0nA? ? ，并且線性方程組 1 1nAx?? ? 有解，則（Ⅰ）對任一 1 in?? ，線性方程組 1iAx?? 均有解；（Ⅱ）記 1iAx?? 的任一解為 1i?? ， 1, 2, , 1in??，那么 12, , , n? ? ? 線性無關．證明（Ⅰ）根據題設，線性方程組 1 1nAx?? ? 有解，設 ? 為它的一個解，即 1 1nA ??? ? ．則對 1 in?? ，由 1 1()i n iAA ???? ? ，知 1niA ??? 是線性方程組 1iAx?? 的一個解；（Ⅱ）根據（Ⅰ）中的 11 0nA?????，由引理 3 得 2 2 1, , , , ,nnA A A A? ? ? ? ???線性無關．首先考慮線性方程組 1Ax?? 的通解：由引理 4 知 rank( ) 1An??，由于 2nA??是它的一個特解，而 1nA?? 是齊次線性方程組 0Ax? 的一個非零解，它構成 0Ax?的一個基礎解系，故線性方程組 1Ax?? 的任一解 2? 可表為形式 7 122 21 nnk A A? ? ????? 再考慮線性方程組 2 1Ax?? 的通解：由 2rank( ) 2An??，由于 3nA?? 是它的一個特解，而 12,nnAA????是齊次線性方程組 2 0Ax? 的一個線性無關的解，它構成2 0Ax? 的一個基礎解系，故線性方程組 2 1Ax?? 的任一解 3? 可表為形式 1 2 33 31 32n n nk A k A A? ? ? ?? ? ?? ? ? 類似的，有 1 2 3 44 4 1 4 2 4 3n n n nk A k A k A A? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ?，?，?，?，?，?，? 121 2 , 1nnn n n n nk A k A k A? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? 由于 12, , , ,nnA A A? ? ? ??? 線性無關，由引理 5 即得 12, , , n? ? ? 也線性無關．注 1 根據定理 1 及證明，該類解答題的制作思路是：取 1 1000nEA P P? ???? ????，其中 P 為任意可逆矩陣，而 1? 為矩陣 1 1000EPP???????的所有列向量的線性組合，它們就可以保證定理 1 中的線性方程組有解，且 12, , , n? ? ? 線性無關．冪零矩陣的伴隨陣問題在《數學研究與評論》期刊 2020 年第 2 期發表了賈利新博士的 “ Several Properties of Idempotent and Nilpotent Matrices” 一文，該文證明了任何 m? 冪零陣的伴隨矩陣或者是 2冪零陣，或者是零矩陣．即下面的定理 2[3] 設 nnAC?

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