隨機(jī)過程基礎(chǔ)知識-資料下載頁

【導(dǎo)讀】1．隨機(jī)試驗(yàn)其結(jié)果在事先不能確定的試驗(yàn)?？梢栽谙嗤臈l件下重復(fù)進(jìn)行；2．樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果的集合，，，21EE對兩兩互不相容的事件序列。）（）（）（）（EFPFPEPFEP????若是遞增的或遞減的事件序列，}1{?前面的（）中的點(diǎn)組成?；蚝喎Q事件B關(guān)于事件A的條件概率。假設(shè)為任意n個事件（），設(shè)事件兩兩互不相容，）（）（）（）（ssiiiiiiAPAPAPAAAP??則稱事件相互獨(dú)立。種對應(yīng)關(guān)系稱為一個隨機(jī)變量，記作或X。隨機(jī)變量X取值不超過x的概率，F(xiàn)是右連續(xù)的，即。最常見的隨機(jī)變量是離散型和連續(xù)型兩種。個或可列無窮多個。

　　

【正文】 ( 21 ttR XY )()( 21 tmtm YX?則 首頁 7．互不相關(guān) 注 對任意 Ttt ?21 ,設(shè) )( tX 和 )( tY 是兩個隨機(jī)過程 ),( 21 ttK XY =0則稱隨機(jī)過程 )( tX 與 )( tY 互不相關(guān)有 若隨機(jī)過程 )( tX 與 )( tY 互不相關(guān)則 ),(21 ttR XY )()( 21 tmtm YX?即 )]([)]([)]()([2121 tYEtXEtYtXE ?若 首頁 例 2 解 求： （ 1） 均值函數(shù)； （ 2） 協(xié)方差函數(shù)； （ 3） 方差函數(shù) 。 設(shè)隨機(jī)過程 tUtX 2c o s)( ? ，其中 U 是隨機(jī)變量且 5)( ?UE ， 6)( ?UD（ 1） )(tm ]2c o s[)]([ tUEtXE ??][2c o s UtE? t2c o s5?（ 2） ),( 21 ttK )]()()(()([( 2211 tmtXtmtXE ???]2c o s)5(2c o s)5[( 21 tUtUE ????])5[(2c o s2c o s 221 ?? UEtt][2c o s2c o s 21 UDtt? 21 2c o s2c o s6 tt?（ 3） 令 ttt ?? 21得 ttXD 2c o s6)]([ 2?首頁 例 3 解 試求它們的互協(xié)方差函數(shù) 。 所以 設(shè)兩個隨機(jī)過程 2)( UttX ? ， 3)( UttY ?其中 U 是隨機(jī)變量且 5)( ?UD)( tX 和 )( tY 的均值函數(shù)][)( 2UtEtm X ? ][2 UEt?][)( 3UtEtm Y ? ][3 UEt?),( 21 ttK XY )]}()()][()({[ 322211 UEttYUEttXE ???]))([( 23221 UEUEtt ?? )(3221 UDtt? 32215 tt?)( tX 和 )( tY 的 互 協(xié)方差 函數(shù) 首頁 三、隨機(jī)過程的特征函數(shù) 1．一維特征函數(shù) 則 注 設(shè) )( tX 是一個隨機(jī)過程對固定的 Tt ?1][),( )(11 11 tXieEt ??? ?111 )(11 dxxtfe xi ；???????（ )( 11 xtf ； 是 )( 1tX 的一維密度函數(shù)， 1? 是實(shí)數(shù)）稱為隨機(jī)過程 )( tX 的一維特征函數(shù)它是 1t 與 1? 的二元函數(shù)首頁 2． n維特征函數(shù) 則 維特征函數(shù)族 設(shè) )( tX 是一個隨機(jī)過程對固定的 Ttt n ?,1 ?， ，][),( )()((11 11 nn tXtXinn eEtt ????? ??? ??? ；稱為隨機(jī)過程 )( tX 的 n 維特征函數(shù)其中 1? ， n?,? 是實(shí)數(shù)。{ )( tX ， Tt ? } 的一維， ,? n 維特征函數(shù)的全體{ ),( 11 nntt ??? ?? ； ， Ttt n ?,1 ? ， 1?n }注 隨機(jī)過程 )( tX 的有限維分布函數(shù)族與有限維特征函數(shù)族相互唯一決定 返回 首頁 第三節(jié) 復(fù)隨機(jī)過程 一、定義 是兩個實(shí)隨機(jī)過程 則 設(shè) { )( tX , Tt ? } 與 { )( tY , Tt ? })()()( tiYtXtZ ?? ， Tt ?稱為復(fù)隨機(jī)過程 記作 { )( tZ , Tt ? } ，簡記作 )( tZ并稱 實(shí)隨機(jī)過程 )( tX 、 )( tY 的聯(lián)合分布為復(fù)隨機(jī)過程 )( tZ 的分布首頁 二、數(shù)字特征 1．均值 函數(shù) 2．自協(xié)方差函數(shù) 其中記號“ — ”表示“共軛” )]([)]([)]([)( tYiEtXEtZEtm Z ???)()( timtm YX ??{ )( tZ ， Tt ? } 在時刻 Ttt ?21 , 的狀態(tài))( 1tZ 與 )( 2tZ 的二階中心混合矩),( 21 ttK Z ]})()()][()({[ 2211 tmtZtmtZE ZZ ???稱為復(fù)隨機(jī)過程 )( tZ 的自協(xié)方差函數(shù)首頁 3． 自相關(guān)函數(shù) 自協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 4． 方差 函數(shù) ])()([E),( 2121 tZtZttR Z ?)()(),(),( 212121 tmtmttRttK ZZZZ ??]|)()([|)( 2tmtZEtD ZZ ??它實(shí)際上等于自協(xié)方差函數(shù) ),( ttK Z且有 )( tDZ )()( tDtD YX ??首頁 證 由于 所以 即 )( tDZ )()( tDtD YX ??)()( tmtZ Z?))()(())()(( timtmtiYtX YX ????))()(())()(( tmtYitmtX YX ????)( tD Z ]))()(())()([( 22 tmtYtmtXE YX ????]))()([(]))()([( 22 tmtYEtmtXE YX ????)()( tDtD YX ??首頁 5 ． 互協(xié)方差函數(shù) 6． 互相關(guān)函數(shù) 設(shè) )(1 tZ ， )(2 tZ 是兩個復(fù)隨機(jī)過程對固定的 Ttt ?21 ,?),( 2121 ttK ZZ ]})()()][()({[ 22211121 tmtZtmtZE ZZ ??稱為 )(1 tZ 與 )(2 tZ 的互協(xié)方差函數(shù)。])()([E),( 22112121 tZtZttR ZZ ?首頁 自相關(guān) 關(guān)系 )()()( tiYtXtZ ?? 的自相關(guān)函數(shù)可有 )( tX 和 )( tY 的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)表示即 ])()([E),( 2121 tZtZttR Z ?)],(),([),(),( 21212121 ttRttRittRttR XYYXYX ????類似地 ])()([E),( 22112121 tZtZttR ZZ ?),(),( 2121 2121 ttRttR YYXX ??)],(),([ 2121 2112 ttRttRi YXXY ??互相關(guān) 關(guān)系 首頁 例 1 已知復(fù)隨機(jī)過程 tietZ ???)( ， 1Rt ?其中 ? ? N （ 0 ， 1 ）， ? 是給定常數(shù)，求 )( tZ 的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。解 ][)]([ tieEtZE ??? 0][ ?? ?? Ee ti),( 21 ttR ][ 21 titi eeE ?? ?? ??][ 2)( 21 ?? Ee tti ?? )( 21 ttie ?? ?][ 21 titi eeE ?? ?? ???返回 首頁 第四節(jié) 幾種重要的隨機(jī)過程簡介 一、獨(dú)立增量過程 1． 定義 隨機(jī)變量的增量 是相互獨(dú)立的 設(shè) { )( tX , Tt ? } 是一隨機(jī)過程，若對任意正整數(shù) n 及 Ttt n ?,1 ?， ，nn tttt ???? ? 121 ?)()( 12 tXtX ? , )()( 23 tXtX ? ,? , )()( 1?? nn tXtX則稱 )( tX 為獨(dú)立增量的過程首頁 2． 齊次性 或稱時齊的 注 若對任意的 t ， Tt ?? ? ，增量 )()( tXtX ?? ? 的概率分布只依賴于 ? 而與 t 無關(guān)，則稱隨機(jī)過程 )( tX 為齊次的，若 )( tX 是齊次的，所以只要時間間隔 ? 相同那么增量服從的分布也相同，具有平穩(wěn)性增量所服從的分布與時間起點(diǎn)無關(guān)首頁 例 1 證 設(shè) { )( nX ， ?,2,1,0?n } 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，令 )()(0nXiYin???則 { )( iY ， ?,2,1,0?i } 是一個獨(dú)立增量過程。??? )1()( iYiY )( iX （ ?,2,1?i ）而 )( iX （ ?,2,1?i ）是相互獨(dú)立的所以 { )( iY ， ?,2,1,0?i } 是一個獨(dú)立增量過程。首頁 二 、 泊松過程 1．計(jì)數(shù)過程 則 且滿足： 如果用 )( tX 表示 [0 ， t ] 內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的總數(shù)，隨機(jī)過程 { )( tX ， 0?t } 稱為一個計(jì)數(shù)過程（ 1 ） 0)( ?tX（ 2 ） )( tX 是整數(shù)值（ 3 ）對任意兩個時刻 210 tt ?? ，有 )()( 21 tXtX ?（ 4 ）對任意兩個時刻 210 tt ?? ，)()( 12 tXtX ? 等于在區(qū)間 ],( 21 tt 中發(fā)生的事件的個數(shù)首頁 注 如果在不相交的時間區(qū)間中發(fā)生的事件個數(shù)是獨(dú)立的，則稱計(jì)數(shù)過程有獨(dú)立增量。 2． 泊松過程 滿足 若在任一時間區(qū)間中發(fā)生的事件個數(shù)的分布只依賴于時間區(qū)間的長度，則稱計(jì)數(shù)過程有平穩(wěn)增量。 設(shè)隨機(jī)過程 { )( tX ， 0?t } 是一個計(jì)數(shù)過程，（ 1 ） 0)0( ?X（ 2 ） )( tX 是獨(dú)立增量過程首頁 則稱 注意 （ 3 ）對任一長度為 t 的區(qū)間中事件的個數(shù)服從均值為 t? （ 0?? ）的泊松分布，即對一切 0, ?ts ，有})()({ ksXstXP ??? tkekt ?? ?? !)(?,2,1,0?k)( tX 為具有參數(shù) ? 的泊松過程從條件（ 3）可知泊松過程有平穩(wěn)增量，且 ttXE ??)]([ 并稱 ? 為此過程的生起率或強(qiáng)度 （單位時間內(nèi)發(fā)生的事件的平均個數(shù)） 首頁 說明 要確定計(jì)數(shù)過程是泊松過程，必須證明它滿足三個條件： 為此給出一個與泊松過程等價的定義 滿足 設(shè)隨機(jī)過程 { )( tX ， 0?t } 是一個計(jì)數(shù)過程，條件 （ 1 ）只是說明事件的計(jì)數(shù)是從時刻 0?t 開始條件 （ 2 ）通?？蓮膶^程的了解的情況去直接驗(yàn)證然而全然不清楚如何去確定條件 （ 3 ）是否滿足參數(shù)為 ? （ 0?? ），首頁 則稱 )( tX 為具有參數(shù) ? 的泊松過程（ 3 ） )(}1)({ hhhXP ?? ???（ 4 ） )(}2)({ hhXP ???其中 )( h? 表示當(dāng) 0?h 時對 h 的高階無窮小，（ 1 ） 0)0( ?X（ 2 ）過程有平穩(wěn)與獨(dú)立增量首頁 例 2 顧客到達(dá)某商店服從參數(shù) 4?? 人 /小時的泊松過程，已知商店上午 9： 00開門，試求到 9： 30時僅到一位顧客，而到 11： 30時總計(jì)已達(dá) 5位顧客的概率。 解 )5)(,1)(( ?? XXP)4)()(,1)(( ???? XXXP)4)2(()1)(( ??? XPXP1!1)( ???? e 244!4)24( ???? e?設(shè) 表示在時間 t時到達(dá)的顧客數(shù) )(tX首頁 3． 到達(dá)時間間隔和等待時間的分布 定義 則稱 設(shè) { )( tX ， 0?t } 為泊松過程，)( tX 表示到時刻 t 為止已發(fā)生的事件的總數(shù)iW （ ?,2,1?i ）表示事件第 i 次發(fā)生的等待時間{ nW ， 1?n } 為等待時間序列以 nT （ 1?n ）表示第 1?n 次發(fā)生到第 n 次發(fā)生之間的時間間隔則稱 {nT ， 1?n } 為到達(dá)時間間隔序列首頁 定理 1 證 或 設(shè) { )( tX ， 0?t } 是參數(shù)為 ? （ 0?? ）的泊松過程，則到達(dá)時間間隔序列 ?， 21 TT 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且都有相同的均值為 ?/1 的指數(shù)分布。事件 { tT ?1 } 的發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)沒有泊松事件在 ]0[ t， 內(nèi)發(fā)生故當(dāng) 0?t 時，有}0)({}{ 1 ??? tXPtTP tt eet ??? ?? ??!0)( 0}{ 1 tTP ? te ???? 1故 1T 的分布函數(shù)為首頁 那么類似地有 ??????????0,00,1)(1 ttetFtT?即 1T 是服從均值為 ?/1 的指數(shù)分布。又因 2T 為事件第一次發(fā)生到第二次發(fā)生之間的時間間隔，}|{ 112 sTtTP ??}|],({ 1111 sTtssP ??? 內(nèi)沒有事件發(fā)生在}],({ 11 內(nèi)沒有事件發(fā)生在 tssP ?? （增量的獨(dú)立性） }0)()({ 11 ???? sXtsXP}0)0()({ ??? XtXP （齊次獨(dú)立增量過程） tetXP ????? }0)({首頁 可見 一般地 2T 也服從均值為 ?/1 的指數(shù)分布且 2T 與 1T 獨(dú)立同分布。對 1?n 和 0121 ??nssst ，， ?},|{ 112211 ?? ???? nnn sTsTsTtTP ?內(nèi)沒有事件發(fā)生在 ],({ 1111 tssssP nn ?????? ?? ??},| 112211 ?? ??? nn sTsTsT ?內(nèi)沒有事件發(fā)