北郵計(jì)算機(jī)仿真設(shè)計(jì)報(bào)告-資料下載頁

【導(dǎo)讀】計(jì)算機(jī)控制仿真課程設(shè)計(jì)

　　

【正文】 指標(biāo)以時(shí)域特征量給出時(shí)，采用根軌跡法進(jìn)行校正比較方便。根軌跡法校正的優(yōu)點(diǎn)是根據(jù)根平面上閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布位置，可直接估算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。 如果原系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能不能滿足要求，則可采取串聯(lián)超前校正裝置進(jìn)行校正。串聯(lián)超前校正的基本出發(fā)點(diǎn)，是先設(shè)置一對(duì)能滿足性能指標(biāo)要求的共扼主導(dǎo)極點(diǎn)，稱為希望主導(dǎo)極點(diǎn)。由于原系統(tǒng)不滿足動(dòng)態(tài)性能要求，希望主導(dǎo)極點(diǎn)自然不會(huì)在原系統(tǒng)的根軌跡上。使超前網(wǎng)絡(luò)的零點(diǎn)落在原系統(tǒng)主導(dǎo)實(shí)數(shù)極點(diǎn) (坐標(biāo)原點(diǎn)的極點(diǎn)除外 ) 附近，以構(gòu)成偶極子，使已校正系統(tǒng)根軌跡形狀改變，向左移動(dòng)，以增大系統(tǒng)的阻尼和帶寬，并使希望主導(dǎo)極點(diǎn)落在已校正系統(tǒng)的根軌跡上，從而滿足性能指標(biāo)要求。 47 六 、單級(jí)倒立擺的最優(yōu)控制器設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì)要求 某倒立單擺系統(tǒng)如圖 61 所示，其狀態(tài)方程已知。 圖 61 倒立單擺系統(tǒng)如示意圖 其中小車的質(zhì)量為 M=，倒立單擺的質(zhì)量為 m=，小車的摩擦系數(shù)為 b=，端點(diǎn)與倒立單擺質(zhì)心的距離為 l=，倒立單擺的慣量I=*m2，輸入量 u=F 是施加在小車上的外力，四個(gè)狀態(tài) 變量分別是小車的坐標(biāo) x， x 的一階導(dǎo)數(shù)，倒立單擺的垂直角度 Φ， Φ 的一階導(dǎo)數(shù)。輸出的被控量分別是小車的坐標(biāo) x 和倒立單擺的垂直角度 Φ。 試根據(jù)誤差指標(biāo) J 最優(yōu)意義下最優(yōu)的規(guī)則設(shè)計(jì)線性二次型最優(yōu)控制器，利用SIMULINK 搭建系統(tǒng)框圖進(jìn)行仿真，滿足以下指標(biāo)： 輸出量 x 和 Φ 的過渡過程時(shí)間小于 2s。 輸出量 x 的上升時(shí)間小于 。 輸出量 Φ 的超調(diào)量小于 20176。（ ）。 總體方案設(shè)計(jì) LQR 最優(yōu)設(shè)計(jì)指設(shè)計(jì)出的狀態(tài)反饋控制器 K 要使二次型目標(biāo)函數(shù) J 取最小值，而 K 由權(quán)矩陣 Q 和 R 唯一決定，通過對(duì) Q、 R 的選擇，來達(dá)到最優(yōu)控制的目的，圖 62 所示為控制框圖。 48 圖 62 控制框圖 基本理論知識(shí) 最優(yōu)控制理論 設(shè)給定線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 ： 二次型性能指標(biāo)函數(shù)： 其中：加權(quán)陣 Q 和 R 是用來平衡狀態(tài)向量和輸入向量的權(quán)重， Q 是半正定實(shí)對(duì)稱常數(shù)矩陣， R 是正定實(shí)對(duì)稱常數(shù)矩陣。 根據(jù)極值原理，可以得出最優(yōu)控制律，即 ： 式中， K 為最優(yōu)反饋增益矩陣； P 為常值正定矩陣，必須滿足黎卡提（ Riccati）代數(shù)方程，即 ： 則最優(yōu)反饋增益 K 為： Q、 R 的選擇原則 由原理可 知，要求出最優(yōu)控制作用 u，除了求解 ARE 方程外，加權(quán)矩陣的選擇也是至關(guān)重要的。而 Q、 R 選擇無一般規(guī)律可循，一般取決于設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)，49 常用的所謂試行錯(cuò)誤法，即選擇不同的 Q、 R 代入計(jì)算比較結(jié)果而確定。有以下幾種原則： （ 1） Q、 R 都應(yīng)是對(duì)稱矩陣， Q 為正半定矩陣， R 為正定矩陣。 （ 2） 通常選用 Q 和 R 為對(duì)角線矩陣，實(shí)際應(yīng)用中，通常將 R 值固定，然后改變 Q 的數(shù)值，最優(yōu)控制的確定通常在經(jīng)過仿真或?qū)嶋H比較后得到。當(dāng)控制輸入只有一個(gè)時(shí)， R 成為一個(gè)標(biāo)量數(shù)（一般可直接選 ）。 （ 3） Q 的選擇不唯一。這表明當(dāng) 得到的控制器相同時(shí)，可以有多種 Q 值的選擇，其中總有一個(gè)對(duì)角線形式的 Q。 LQR 最優(yōu)控制器系統(tǒng)設(shè)計(jì)的 Matlab 實(shí)現(xiàn)方法 Matlab 控制系統(tǒng)工具箱提供了完整的解決線性二次型最優(yōu)控制問題的命令和算法，其中函數(shù) lqr( )可以直接求解二次型調(diào)節(jié)器問題，命令格式如下：[K,P,E]=lqr(A,B,Q,R)，其中 K 為最優(yōu)反饋增益矩陣， P 為 Riccati 方程的唯一正定解， E 為 ABK 的特征值。 詳細(xì)設(shè)計(jì) 已知倒立擺模型為 其中小車的質(zhì)量為 M=，倒立單擺的質(zhì)量為 m=， 小車的摩擦系數(shù)為 b=，端點(diǎn)與倒立單擺質(zhì)心的距離為 l=，倒立單擺的慣量I=*m2，輸入量 u=F 是施加在小車上的外力，四個(gè)狀態(tài)變量分別是小車的坐標(biāo) x， x 的一階導(dǎo)數(shù)，倒立單擺的垂直角度 Φ， Φ 的一階導(dǎo)數(shù)。輸出的被控量分別是小車的坐標(biāo) x 和倒立單擺的垂直角度 Φ。 由以上數(shù)據(jù)可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下： 50 （ 1）分析原系統(tǒng)的開環(huán)階躍響應(yīng)。 首先求開環(huán)系統(tǒng)的特征值，判斷其穩(wěn)定性。然后根據(jù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線分析當(dāng)前的運(yùn)動(dòng)情況與期望性能指標(biāo)之間的差距，確定校正手段，編程如下： %系統(tǒng)狀態(tài)方程 A=[0 1 0 0。0 0。0 0 0 1。0 0]。 B=[0。 。0。 ]。C=[1 0 0 0。0 0 1 0]。D=[0]。 %求解系統(tǒng)的特征值 p=eig(A) t=0::1。 %階躍響應(yīng) step(A,B,C,D,1,t) 系統(tǒng)的特征值 p = 0 系統(tǒng)有一個(gè)位于右半平面的極點(diǎn)，故不穩(wěn)定。系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖 63所示，上圖是小 車坐標(biāo) x 的階躍響應(yīng)曲線，下圖是倒立擺的垂直角度 Φ 的階躍響應(yīng)曲線，所以必須加入校正裝置。 51 圖 63 開環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線 （ 2）線性二次型最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì)線性二次型最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是選擇加權(quán)矩陣 Q。一般來說， Q選擇的越大，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定所需要的時(shí)間越短。首先選擇 ， R=1，然后根據(jù)實(shí)際情況調(diào)節(jié)。編程如下： %Q 和 R 矩陣的選擇 m=1。n=1 Q=[m 0 0 0。0 0 0 0。0 0 n 0。0 0 0 0]。R=[1]。 %求解線性二次型最優(yōu)狀態(tài) [k,p,e]=lqr(A,B,Q,R) %求解系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)方程 Ac=[(AB*k)]。Bc=B。Cc=C。Dc=D。 %輸出系統(tǒng)階躍響應(yīng) T=0::10。 U=ones(size(T))。 [Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T)。 y1=Y(:,1)。y2=Y(:,2)。 plot(T,y1,39。r:39。,T,y2)。 title(39。Inverted Pendulum LQ Step Response39。)。 xlabel(39。時(shí)間（ sec） 39。)。 52 ylabel(39。響應(yīng) 39。)。 grid。 legend(39。小車位移 39。,39。擺桿傾角 39。) 結(jié)果為： k = p = e = + + 此時(shí)求得的線性二次型最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣為： 其響應(yīng)曲線如圖 64 所示 ： 53 圖 64 m= n=1 時(shí) 階躍響應(yīng)曲線 從圖 64 可以看出，超調(diào)量基本滿足要求，但穩(wěn)定值與系統(tǒng)期望值相差太大（小車坐標(biāo)的響應(yīng)曲線穩(wěn)態(tài)值為負(fù)值）；另一方面過渡時(shí)間和上升時(shí)間都很大，必須重新校正。校正方法就是加大加權(quán)矩陣 Q 的值。 取 m， n 分別為以下值進(jìn)行仿真 m 10 50 110 200 500 110 1000 4000 …… n 10 60 110 210 510 500 110 110 …… 圖 65 m=10。n=10 圖 66 m=50。n=60 54 圖 67 m=110。n=110 圖 68 m=200。n=210 圖 69 m=500。n=510 圖 610 m=500。n=110 圖 611 m=110。n=500 圖 612 m=1000。n=110 55 圖 613 m=4000。n=110 圖 614 m=4500。n=110 通過多次修改數(shù)據(jù)后仿真，當(dāng) m=4500， y=110 時(shí)效果比較理想。此時(shí)狀態(tài)反饋矩陣 k =（ ）。階躍響應(yīng)如圖 615 所示 圖 615 m=4500、 n=110 時(shí) 階躍響應(yīng)曲線 分析當(dāng) m=4500， n=110 時(shí)，系統(tǒng)的上升時(shí) 間，調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量，編程如下： %Q 和 R 矩陣的選擇 m=4500。n=110。 Q=[m 0 0 0。0 0 0 0。0 0 n 0。0 0 0 0]。R=[1]。 %求解線性二次型最優(yōu)狀態(tài) [k,p,e]=lqr(A,B,Q,R) 56 %求解系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)方程 Ac=[(AB*k)]。Bc=B。Cc=C。Dc=D。 %輸出系統(tǒng)階躍響應(yīng) step(Ac,Bc,Cc,Dc) 得到以下結(jié)果： 輸出量 X 的上升時(shí)間 ，調(diào)節(jié)時(shí)間 ，超調(diào)量 %； 輸出量 Φ 的上升時(shí)間 *10^16s，調(diào)節(jié)時(shí)間 ，超調(diào)量 。 階躍響應(yīng)曲線如圖 616 所示： 圖 616 階躍響應(yīng)曲線 從圖 616 可知，系統(tǒng)響應(yīng)的快速性得到了明顯改善，上升時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間以及超調(diào)量都滿足最初設(shè)計(jì)要求。 綜上所述，基于最小值原理的線性二次型最優(yōu)控制，通過求解代數(shù) Riccati方程，得到的狀態(tài)反饋矩陣 K，可以使系統(tǒng)的各種狀態(tài)獲得漸進(jìn)穩(wěn)定特性。它的不足之處在于，加權(quán)矩陣 Q、 R 的值與系統(tǒng)響應(yīng)性能之間的關(guān)系是定性的，往往不能一次得到滿意的結(jié)果，需要多次調(diào)整它們的值得到滿意的系統(tǒng)響應(yīng)性能。 調(diào)試 Simulink 仿真 用 Simulink 進(jìn)行仿真，框圖如圖 617 所示。 57 圖 617 仿真框圖 運(yùn)行結(jié)果如圖 618 所示，其中紫色線代表擺桿傾角，黃色線代表小車位移。 圖 618 示波器運(yùn)行結(jié)果 設(shè)計(jì)總結(jié) 58 這道題目幫助我們了解并掌握了 LQR 設(shè)計(jì)方法。對(duì) LQR 設(shè)計(jì)中的加權(quán)矩陣Q 和 R 的選擇的過程，是一個(gè)嘗試的過程。通過大膽合理的多次嘗試，我們不斷改變矩陣中的元素值，最終得到了合理的矩陣，在滿足系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求的同時(shí)，也明了了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)與兩個(gè)加權(quán)矩陣之間的關(guān)系。 當(dāng) Q 不變而 R 減小 時(shí)，倒立擺系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間與超調(diào)量減小，上升時(shí)間與穩(wěn)態(tài)誤差增大；當(dāng) R不變而 Q 變大時(shí)，調(diào)整時(shí)間與超調(diào)量減小，擺桿的角度變化也同時(shí)減小，但上升時(shí)間與穩(wěn)態(tài)誤差卻同時(shí)增大。當(dāng)然，當(dāng) Q 和 R 的變化與上述兩種情況相反時(shí)，結(jié)論恰好相反。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了該規(guī)律的有效性與實(shí)用性，同時(shí)也顯示出了 LQR控制器較好的魯棒性與動(dòng)態(tài)性能。在實(shí)際的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中， Q 和 R 的選擇應(yīng)該很據(jù)上述規(guī)律進(jìn)行選擇，但是也要注意與實(shí)際情況相結(jié)合，這樣得到的矩陣才是合理科學(xué)的。 參考文獻(xiàn) [1] 楊國安 .數(shù)字控制系統(tǒng) — 分析、設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn) [M].西安交通 大學(xué)出版社 ，2020. 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