數學模型離散模型-資料下載頁

【導讀】離散模型：差分方程（第7章）、論、網絡流、……分析社會經濟系統的有力工具。只用到代數、集合及圖論（少許）。日常工作、生活中的決策問題。涉及經濟、社會等方面的因素。作比較判斷時人的主觀選擇起相當。Saaty于1970年代提出層次分析法。AHP——一種定性與定量相結合的、費用、居住條件等因素選擇.用相連的直線表示。案對每一準則的權重。將上述兩組權重進行綜合，確定各方案對目標的。完成以上步驟，給出決策問題的定量結果。,Cn對目標O的重要性。A的秩為1，A的唯一非零特征根為n. A的任一列向量是對應于n的特征向量。比較陣A，建議用對應于最大特征根?,9及其互反數1,1/2,…心理學家認為成對比較的因素不宜超過9個。陣，算出權向量，與實際對比發現，1~9尺度較優。定義一致性指標:CI越大，不一致越嚴重。擬得到aij,形成A，計算CI即得RI。

　　

【正文】 平均收入 每天收入是隨機的 存在一個合適的購進量 等于每天收入的期望 福 州 大 學 76 建模 ? 設每天購進 n 份， 日平均收入為 G(n) 調查需求量的隨機規律 ——每天需求量為 r 的概率 f(r), r=0,1,2… 準備 ))(()(rncbrnrbarnr?????????賠退回賺售出nbannr )( ???? 賺售出? ????????????nr nrrnfbarfrncbrbanG0 1)()()()])(()[()(求 n 使 G(n) 最大 ? 已知售出一份賺 ab；退回一份賠 bc 福 州 大 學 77 ? ? ? ??????? n n drrnpbadrrprncbrbanG 0 )()()()])(()[()(?dndG求解 將 r視為連續變量 概率密度）()()( rprf ?0?dndGcbbadrrpdrrpnn??????)()(0? ? ?????? n n drrpbadrrpcb 0 )()()()(? ? ???? n drrpbannpba )()()()(? ??? n drrpcbnnpba 0 )()()()(福 州 大 學 78 cbbadrrpdrrpnn??????)()(0結果解釋 ?? ? ?? nn PdrrpPdrrp 20 1 )(,)(n P1 P2 cbbaPP???21取 n使 ab ~售出一份賺的錢 bc ~退回一份賠的錢 ???????? ncbnba )(,)(0 r p 福 州 大 學 79 隨機存貯策略 問題 以周為時間單位；一周的商品銷售量為隨機；周末根據庫存決定是否訂貨，供下周銷售。 （ s, S) 存貯策略 制訂下界 s, 上界 S，當周末庫存小于 s 時訂貨，使下周初的庫存達到 S。 否則，不訂貨。 考慮訂貨費、存貯費、缺貨費、購進費，制訂（ s, S) 存貯策略 ,使 (平均意義下 )總費用最小 福 州 大 學 80 模型假設 ? 每次訂貨費 c0, 每件商品購進價 c1,每件商品一周貯存費 c2,每件商品缺貨損失費 c3 (c1c3) ? 每周銷售量 r 隨機、連續，概率密度 p(r) ? 周末庫存量 x, 訂貨量 u, 周初庫存量 x+u ? 每周貯存量按 x+ur 計 福 州 大 學 81 ?????????0)(0),()( 10uxLuuxLuccuJ? ? ? ???? x x drrpxrcdrrprxcxL 0 32 )()()()()(建模與求解 （ s, S) 存貯策略 0??? usx確定 (s, S), 使目標函數 ——每周總費用的平均值最小 平均費用 訂貨費 c0, 購進價 c1, 貯存費 c2, 缺貨費 c3, 銷售量 r Suxusx ????? ,0s ~ 訂貨點， S ~ 訂貨值 福 州 大 學 82 12130)()(ccccdrrpdrrpSS??????? ?? ????? ux ux drrpcdrrpccdudJ 0 321 )()(建模與求解 1）設 xs, 求 u 使 J(u) 最小，確定 S ? ? ????? S S drrpccdrrpcc 0 1321 )()()()(Sux ???? ?0 1)( drrp0?dudJ?????? ScSc 23 ,建模與求解 ? ? ? ???? x x drrpxrcdrrprxcxL 0 32 )()()()()(?????????0)(0),()( 10uxLuuxLuccuJS P1 P2 0 r p 21PP?福 州 大 學 83 2）對庫存 x，確定訂貨點 s )()(101 SLxSccJ ????若訂貨 u, u+x=S, 總費用為 )(2 xLJ ?若不訂貨 , u=0, 總費用為 12 JJ ?)()(1 xIxLxc ??記)()( 0 SIcxI ??訂貨點 s 是 的最小正根 建模與求解 ? ? ? ???? x x drrpxrcdrrprxcxL 0 32 )()()()()(?????????0)(0),()( 10uxLuuxLuccuJ)()()( 10 SLxSccxL ????不訂貨 )()(101 SLSccxLxc ????)(( 0 SIcxI ??福 州 大 學 84 )()( 0 SIcxI ?? 最小正根的 圖解法 J(u)在 u+x=S處達到最小 x I(x) 0 S I(S) s I(S)+c0 I(x)在 x=S處達到最小值 I(S) I(x)圖形 建模與求解 ? ? ? ???? x x drrpxrcdrrprxcxL 0 32 )()()()()(?????????0)(0),()( 10uxLuuxLuccuJ)()( 1 xLxcxI ??J(u)與 I(x)相似 I(S) )()( 0 SIcxI ?? 的最小正根 s 福 州 大 學 85 軋鋼中的浪費 軋制鋼材兩道工序 ? 粗軋 (熱軋 ) ~ 形成鋼材的雛形 ? 精軋 (冷軋 ) ~ 得到鋼材規定的長度 粗軋 鋼材長度正態分布 均值可以調整 方差由設備精度確定 粗軋鋼材長度大于規定 切掉多余 部分 粗軋鋼材長度小于規定 整根報廢 隨機因素影響 精軋 問題：如何調整粗軋的均值，使精軋的浪費最小 背景 福 州 大 學 86 分析 設已知精軋后鋼材的規定長度為 l， 粗軋后鋼材長度的均方差為 ? 記粗軋時可以調整的均值為 m，則粗軋得到的鋼材長度為正態隨機變量，記作 x~N(m, ? 2) 切掉多余部分的概率 )( lxPP ??整根報廢的概率 )( lxPP ???????? PPm ,存在最佳的 m使總的浪費最小 l P ????? PPm ,0 p(概率密度 ) m x P180。 m P P180。 福 州 大 學 87 ? ?? ????? l l dxxxpdxxplxW )()()(? ???? ??? l dxxlpdxxxp )()(建模 選擇合適的目標函數 切掉多余部分的浪費 整根報廢的浪費 總浪費 = + lPm ??粗軋一根鋼材平均浪費長度 粗軋 N根 成品材 PN根 成品材長度 l PN 總長度 mN Nl P NmN ? lPm ??共浪費長度 mNlPN 福 州 大 學 88 lPmPN l P NmN ???)()(mPmmJ ?記222)(21)(,)()( ???mxlexpdxxpmP???? ??選擇合適的目標函數 粗軋一根鋼材平均浪費長度 lPmNl P NmN ???得到一根成品材平均浪費長度 更合適的目標函數 優化模型：求 m 使 J(m) 最?。ㄒ阎?l ,? ） 建模 粗軋 N根 得成品材 PN根 福 州 大 學 89 ,? mxy ?? ???? lm ?? ,)()( ????????J2221)()()(yzeydyyz????? ????)()(mPmmJ ?222)(21)()()(???mxlexpdxxpmP????? ??? ??z)()()(zzzJ??? ??)()( ????????J求解 求 z 使 J(z) 最?。ㄒ阎?? ） 福 州 大 學 90 求解 )()()(zzzJ??? ?? 0)()()( ?? ????? zzz ?)(/)( zzz ?? ???)()( zz ???? ?0?dzdJ2221)()()(yzeydyyz????? ????)(/)()()(zzzFzzF??????福 州 大 學 91 簡表)()()( zzzF ???z??*z例 設 l=2(米 ), ?=20(厘米 )，求 m 使浪費最小。 ?=l/?=10 z*= ?*= ?z*= m*= ?*?=(米 ) 求解 0 z z F(z) F(z) zzF ?? ?)( 0 10 5 F(z) z 福 州 大 學 92 隨機人口模型 背景 ? 一個人的出生和死亡是隨機事件 一個國家或地區 平均生育率平均死亡率 確定性模型 一個家族或村落 出生概率死亡概率 隨機性模型 對象 X(t) ~ 時刻 t 的人口 , 隨機變量 . Pn(t) ~概率 P(X(t)=n), n=0,1,2,… 研究 Pn(t)的變化規律；得到 X(t)的期望和方差 福 州 大 學 93 若 X(t)=n, 對 t到 t+?t的出生和死亡概率作以下假設 1)出生一人的概率與 ?t成正比，記 bn?t 。出生二人及二人以上的概率為 o(?t). 2)死亡一人的概率與 ?t成正比，記 dn?t 。死亡二人及二人以上的概率為 o(?t). 3)出生和死亡是相互獨立的隨機事件。 bn與 n成正比，記 bn=?n , ?~出生概率 ； dn與 n成正比，記 dn=?n， ?~死亡概率 。 進一步假設 模型假設 福 州 大 學 94 )()1)(()()()( 1111totdtbtPtdtPtbtPttPnnnnnnnn????????????? ????建模 為得到 Pn(t) P(X(t)=n),的變化規律，考察 Pn(t+?t) =P(X(t +?t)=n). 事件 X(t +?t)=n的分解 X(t)=n1, ?t內出生一人 X(t)=n+1, ?t內死亡一人 X(t)=n, ?t內沒有出生和死亡 其它 (出生或死亡二人，出生且死亡一人， … …) 概率 Pn(t+?t) Pn1(t), bn1?t Pn+1(t), dn+1?t Pn(t), 1bn?t dn ?t o(?t) 福 州 大 學 95 )()()()1()()1( 11 tnPtPntPndtdP nnnn ???? ?????? ??)()()()( 1111 tPdbtPdtPbdtdP nnnnnnnn ???? ????~一組遞推微分方程 ——求解的困難和不必要 ??????00,0,1)0(nnnnP n (t=0時已知人口為 n0) 轉而考察 X(t)的期望和方差 bn=?n， dn=?n 微分方程 建模 福 州 大 學 96 ???????1)()()()(nn tEtnPdtdE ????)()()()1()()1(121111tPntPnntPnndtdEnnnnnn????????????????????? ????1)()(nn tnPtEX(t)的期望 求解 )()()()1()()1( 11 tnPtPntPndtdP nnnn ???? ?????? ??基本方程 ?????1)()1(kk tPkk?n1=k ????1nndtdPndtdEn+1=k )()1(1tPkkkk????? ?福