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數(shù)學(xué)分析函數(shù)極限兩個(gè)重要的極限-資料下載頁(yè)

2025-08-22 09:06本頁(yè)面

【導(dǎo)讀】所以時(shí)，因?yàn)楫?dāng),??????txxt時(shí)則若令由此可得。在實(shí)際應(yīng)用中，公式與具有相同作用.所以由歸結(jié)原則，＝而,01,e11lim2?????????定義1內(nèi)有定義，的某鄰域在點(diǎn)設(shè))(00xUxf?xfxx若.0時(shí)的無(wú)窮小量為則稱(chēng)xxf?性質(zhì)1可由極限的四則運(yùn)算性質(zhì)直接得到.下面對(duì)性質(zhì)２加以證明..01sin時(shí)的無(wú)窮小量為的有界量，那么?從幾何上看，曲線在近旁發(fā)生無(wú)0?限密集的振動(dòng)，其振幅被兩條直線xy??

　　

【正文】 s i n ,1s i nlim0???xxxx xx所以因?yàn)椤?0(~a r c t a n ,1a r c t a nlim 0???xxxx xx所以因?yàn)閯t稱(chēng)若 ,1)( )(lim .40?? xgxfxx 時(shí)的為與 0 )( )( xxxgxf ?等價(jià)無(wú)窮小量，記作也就是說(shuō)，這里的 “ =” 類(lèi)似于 .”“?返回后頁(yè) 前頁(yè) .0)(21~co s1 2 ?? xxx同樣還有根據(jù)等價(jià)無(wú)窮小量的定義，顯然有如下性質(zhì)： ),( )(~)( ),( )(~)( 00 xxxhxgxxxgxf ??若.1)( )(lim)( )(lim)( )(lim 000?????? xhxgxgxfxhxfxxxxxx前面討論了無(wú)窮小量階的比較 , 值得注意的是 , 并 .)( )(~)( 0xxxhxf ?那么這是因?yàn)? 不是任何兩個(gè)無(wú)窮小量都可作階的比較 . 例如返回后頁(yè) 前頁(yè) xxsin 與 21x 均為 ???x 時(shí)的無(wú)窮小量 , 卻不能按照前面討論的方式進(jìn)行階的比較 . 這是因?yàn)? )(si n1si n2???? xxxxxx是一個(gè)無(wú)界量，并且 (2 π ) s in ( 2 π ) 0 .nn ?下面介紹一個(gè)非常有用的定理：返回后頁(yè) 前頁(yè) 定理設(shè)函數(shù) f, g, h 在 )( 0xU ? 內(nèi)有定義 , 且 .)()(~)( 0xxxgxf ?。)()(lim,)()(lim)1(00AxhxgAxhxf xxxx ?? ?? 則若.)( )(lim,)( )(lim)2(00Axg xhAxf xhxxxx????則若.)()()( )(lim)()(lim00Axhxfxf xgxhxgxxxx????證 ,1)( )(lim,)()(lim)1(00???? xgxfAxhxfxxxx因?yàn)?所以返回后頁(yè) 前頁(yè) 定理告訴我們，在求極限時(shí)，乘積中的因子例 1 .2s i na r c t a nlim0 xxx ?計(jì)算.212lim2si na r c t a nlim00???? xxxxxx解 ),0(2~2si n,~a r c t a n ?xxxxx因?yàn)?所以 (2) 可以類(lèi)似地證明 . 可用等價(jià)無(wú)窮小量代替，這是一種很有用的方法 .

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