20xx年畢業論文韋達定理的推廣及若干應用-資料下載頁

【導讀】填寫日期：20xx年5月2日。初等代數是研究數學的代數運算的理論和方法，比如，研究實數和復數，以及以它們。程，因而長期以來都把代數學理解成方程的科學.高等代數在初等代數的基礎上進一步擴。充研究對象和研究范圍，從最簡單的一元二次方程開始，更深層的繼續討論三次、四次方。韋達定理是初等代數中最重要的內容之一，它揭示了一元二次方程中根與系數的基本。關系.本文將從韋達定理在一元二次方程中的簡單應用，初步討論一元二次方程根與系數

　　

【正文】 像只有一種辦法， 那就是 將 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 4 5 6 0f x x x x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? 展開然后比較系數得出答案，這是一個非常巨大的體力工作，如果巧妙地運用推廣的韋達定理，便能很快求出所需答案 . 例 已知 ? ? 3 1f x x x? ? ?為一個三次多項式， ??gx也是一個三次多項式，滿足? ?01g ?? ，且 ? ? 0gx? 得三個根恰好是 ? ? 0fx? 的三個根的平方，求 ??9g 的大小 . 解析 設 1 2 3,x x x 為方程 32+0 1 0x x x? ? ?的三個根，由韋達定理知 1 2 31 2 2 3 3 11 2 30,1,1.x x xx x x x x xx x x? ? ???? ? ?????? 則有 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?22 2 21 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 122 2 2 2 2 21 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 321 2 32 0 2 1 2 ,2 1 2 1 0 1 ,1.x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? 因此，原方程為 ? ? 3221g x x x x? ? ? ?， 故 ? ? 329 9 2 9 9 1 8 9 9g ? ? ? ? ? ?. 例 求有單根 2? 和 有重根 3 的四次 方程 . 解 析 由題意可得，設四次多項式 ? ? ? ?? ?? ? 21 2 3f x a x x x? ? ? ?，由 推廣的 韋達定理可得 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?1 2 3 3 51 2 1 3 1 3 2 3 3 3 1 ,1 2 1 3 1 3 2 3 3 3 1 ,1 2 3 1 2 3 1 3 3 2 3 3 21 ,1 2 3 3 18.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ??? ? ? ? ? ? ?? 故 ? ? 4 3 25 21 18 0f x x x x x? ? ? ? ? ?，即所求四次方程為 4 3 25 21 18 0x x x x? ? ? ? ?. 歸納 此類型題目為已知根求 一元高次方程，根據推廣的韋達定理，可以反推得出一元高次方程的各項系數，進而推得一元高次方程 . 例 1 ( 20xx 湖北孝感 )已知關于 x 方程 ? ?222 1 0x k x k? ? ? ?有兩個實根 12,.xx （ 1）求 k 的取值范圍； （ 2）若 1 2 1 2 1x x x x? ? ?，求 k 的值 . 解析 （ 1）由題意可知，可得 2 2 24 4( 1 ) 4 0b ac k k? ? ? ? ? ? ?，解得 12k? . 貴陽學院畢業論文 12 （ 2 ）由 1 2 1 2 1x x x x? ? ?可得， ? ?12=2 1x x k??， 又 12k?，因此 ? ?21k? 0 ，? ? 22 1 1kk? ? ? ?，解得 1 1k? （舍）， 2 ?? 所以， k 的值是 3? . 歸納 巧妙地將根與系數的關系與代數式相結合解題是一種學習數學解題方法 .同時應該注意考慮方程的根的個數問題，即根式判別式的取值范圍 . 例 1已知一元二次方程 24 5 1 0xx? ? ? ，不解方程，求作以該方程的兩根的倒數為根的一元二次方程 . 解析 由題意可設 24 5 1 0xx? ? ? 的兩根為 12,xx，那么所求的方程的根為11x 和21x . 由推廣的韋達定理可知 12125 ,41 .4xxxx? ? ?????? ??? 所以 121 2 1 21 2 1 211 5,1 1 1 4.xxx x x xx x x x?? ? ? ? ????? ? ? ??? 因此， 根據韋達定理可得， 所求方程為 2 5 4 0xx? ? ? . 歸納 本題巧妙地運用根與系數的關系，把兩個方程的根與系數聯系起來，為解題提供便道 . 總結 推廣的 韋達定理 在 初等代數、解析幾何、 方程論、多項式及其他 數學領域 應用極為廣泛， 巧妙地運用推廣的韋達定理解決一些 數學問題，不但可以為解題提供 便利之道，還有利于 激發 學習數學的積極興趣 ，并養成嚴謹的解題習慣 . 貴陽學院畢業論文 13 致謝 本畢業論文得以順利完成，首先應當歸功于王琪教授的精心指導 .無論是選題、資料整理還是在論文撰寫等各方面，他都給予大量的指導和幫助，使我不但按時完成了論文，而且還從許多書刊中學到許多課堂上無法學到的知識，真的是受益匪淺，特致以深深的感謝 . 其次，感謝數學與信息科學學院的領導和教師給予大量的支持，以及貴陽學院有關領導和工作人員的支持與配合 . 然后，感謝鄒興文先生和周萬瓊女士的積極支持和大力幫 助，在我們共同完成論文的同時，也從各自的身上學到許多以前沒有學到的優點，可以說是互相受益成長了 . 最后要衷心感謝生我養我的父母，您們辛苦了，為了使我能上一個大學，您們付出太多的汗水與操勞，感謝您們對我的養育之恩，感謝您們 一直以來對我的支持 ！ 感謝這篇論文所涉及到的各位學者 .本文引用了數位學者的研究文獻 ，如果沒有各位學者的研究成果的幫助和啟發，我將很難完成本篇論文 . 由于 本人 的學術水平有限， 對本文的寫作 難免有不足之處，懇請各位老師和學 者 批評指正！ 貴陽學院畢業論文 14 參 考文獻 [1] 人民教育出版社中學數學室 . 全日制普通高級中學教科書 ( 必修 ). 《 數學 》 第二冊(上 )[M]. 北京 :人民教育出版社 ,20xx. [2] 楊艷麗 ,王廣福 . 韋達定理及其推廣應用 [J]. 云南保山學院學報 , 20xx(5): 8688. [3] 北京大學數學系幾何與代數教研室 . 高等數學 . 第三版 [M]. 北京 : 高等教育出版社 , 20xx. [4] 付興宏 ,羅雨滋 . 淺談多項式理論在初等代數中的運用 [J], 遼寧師專學報 , 199(3):1215. [5] 余元希 ,田萬海 ,毛宏德 . 初等 代數研究 (下冊 )[M]. 北京 :高等教育出版社 ,.