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【導讀】題有關資料的收集和整理。多則說明該成果參考價值大，在許多別人的研究中有參考作用。但被引的多少與學科性質和。多等等，所以引用情況只能從一個側面反映問題，具體分析是很重要的。作業2，希望大家能掌握特定主題有關資料的收集方法。這里比較關鍵的有：數據庫的。選擇、檢索策略的選擇和調整。數據庫一般選用對口的專業數據庫和收錄文獻較多的綜合性。檢索策略一般對特定專題的資料從題名、主題、關鍵詞、摘要等描述內容的檢索字。大多數同學還是根據自己的檢索習慣選擇有限的1、2個數據庫，搜索引擎最大的問題是準確性較差，會檢索到一大堆無用的資料。在ESI中可以檢索到孫優賢院士的幾篇高水平論文的。孫優賢，1940年出生，諸暨人。系八屆全國人大代表。孫優賢院士在現代控制工程技術領域成就卓著，開創了我國第一個國家工程研究中心，程研究中心等五星級學科單位。控制應用理論研究”、“復雜工業系統建模、控制與優化”等省部級科技進步一、二等獎16項，

　　

【正文】 微小攝動的微分靈敏性分析方法，以 Rosenbrock (1976)提出的多變量系統逆 Nyquist 陣列設計方法為代表，其思想也推廣到多輸入多輸出情形。在魯棒控制理論的建立過程中， 1963 年 Zames 提出的小增益定理影響深遠，至今仍是頻域分析非結構不確定性系統魯棒穩定性的基本工具， 1964 年Kalman 討論了單輸入單 輸出系統線性二次型最優狀態反饋控制律 (LQ)的魯棒性，證明其具有無窮大增益穩定裕量和 60 度相位穩定裕量。 真正意義上的現代多變量魯棒控制理論的重要標志是在參數有界擾動（而不是無窮小擾動）下討論系統性能的保持能力，上世紀 70 年代 以 后很多工作開創性地推動了魯棒控制的發展： Davison(1976)提出的魯棒調節器設計方法，當對象的參數發生微小變化，可保證閉環穩定及輸出漸近調節； Youla et al. (1976)針對了一個特定對象給出了所有鎮定控制器的參數化表示； Kharitonov(1978)針對區間多項式 族表示的系統不確定性，通過四個區間端點作為系數的多項式的穩定性來判別區間多項式族的穩定性； Doyle(1982)提出了可根據范數界限擾動有效地描述模型不確定性，由此發展了判別魯棒穩定性和魯棒性能的強有力的工具 —結構奇異值方法； Safonov(1980)把經典頻域分析和設計方法與現代多變量控制方法聯系起來，可以對 Lyapunov 穩定性和輸入輸出穩定性進行統一處理；對于外部不確定性，假定干擾的統計特性為知但屬于某一已知信號集合， Zames(1981)首次提出了用其靈敏度函數的 H? 范數作為指標，設計的反饋控制器在可能發生的最壞干擾下使系統穩定并且相應的 H? 范數指標極小，同時， Zames 還指出， LQG 的平方積分型優化指標不能保證基于狀態空間模型的LQG 設計方法的魯棒性。 魯棒控制理論經過三十年發展，已經碩果累累，并成為當今控制理論研究中最活躍的領域之一，國內外學者在這一領域作了大量的研究，如 Bhattacharyya and Keel (1991)。 Doyle et al. (1992)。 Zhou and Doyle (1998)。 馮伯純等 (1995)。 解學書和鐘宜生 (1994)；申鐵龍 (1996)；褚健等 (2020)；等等許多綜合性專著和論文的出版發表，使魯棒控制理論研究進入了一個新的發展階段。 此外，在不確定線性系統的分析和綜合中，基于 Riccati方程和 LMI 的方法取得了令人矚目的成果，很多方法和結論被推廣至線性時滯不確定系統，例如，對于 H? 控制問題， Lee et al. (1994)， Choi and Chung (1995), Kokame et al. (1998), Kim and Park (1999)等人的工作針對連續系統，而 Guan et al. (1999), Mahmoud and Xie (2020)則針對離散系統；俞立等 (1999)，關新平等 (2020)針對系統無源控制問題的研究； Esfahani and Petersen (2020)，鄭連偉等 (2020)用類似 Masubuchi et al. (1995)中的矩陣變量法研究了動態輸出控制器的設計；蔣培剛 (2020)在現有的時滯無關方法基礎上進行了一系列改進工作，使得時滯無關方法趨于完善 和系統化，對時滯依賴方法也進行了初步研究和介紹。 需要指出的是自從 60 年代 Lyapunov第二方法被用來處理線性系統的控制問題之后，該方法也很快被引入到不確定時滯系統的分析設計中來，成為人們手中處理不確定性和時滯性的有力武器。 Lyapunov 方法的優點在于：方法統一，最后都可以轉化為一個 Riccati方程的解；處理范圍廣，不管是參數攝動還是時變時滯系統，都可以處理。利用 Lyapunov 第二方法，通過構造適當的 Lyapunov 函數求解時滯系統的無記憶反饋控制不但設計簡便，在線計算量少，而且便于閉環系統的穩定性 分析，因而近年來受到很多學者的重視。尤其是 Riccati方程方法在線性不確定系統的魯棒鎮定問題研究中得到廣泛重視和應用以后，很多學者又把它推廣到線性不確定時滯系統中來。這使時滯無關穩定性分析得到了很大的發展，但是，它所允許的系統的時滯為無窮大，而對系統滯后的變化率卻作了小于 1這樣一個假設。顯然這對實際系統的滯后很小時，這些結論是非常保守的。另外這些方法對 Lyapunov 函數的選取以及控制器的結構形式都作了各種預先的假設，這無疑也增加了結果的保守性，而這些結果都是由以 Riccati方程的形式給出，其求解牽涉到 多個對稱正定矩陣以及正標量的整定問題，在沒有系統整定的情況下，其求解會進一步帶來保守性。 因此，有些學者提出了時滯依賴的魯棒穩定性分析和魯棒鎮定方法。這些結果和系統的時滯大小有關，一般如果系統的滯后為零的話，有關結論就變成了一般不確定線性系統的有關結論，而且這些結果對系統滯后的變化率沒有任何要求，如文 Li and de Souza (1996)利用線性矩陣不等式方法給出了存在狀態滯后的線性不確定時滯系統的時滯依賴魯棒穩定性判據；對于一類范數有界不確定連續時滯系統， Moon et al. (2020)將 Park (1999)提出的不等式進一步擴展，得到了時滯依賴的魯棒可鎮定條件；對于連續不確定時滯系統的保成本控制，有些時滯獨立的結果，如 Moheimani and Petersen (1997)， Yu et al. (1999)等等。 Lee et al. (2020)針對連續不確定時滯系統，提出了基于 LMI 方法的時滯依賴穩定性判據。 Lyapunov 第二方法的出現，使得許多原本很難的問題有了解決的可能，特別是對于時變系統以及非線性系統得研究， Lyapunov 方法顯示出強大的優越性。然而，在采用該方法分析系統穩定性 等問題時也需要相當的經驗和技巧，因為構造一個適當的 Lyapunov 泛函是很困難的，并無一般規律可循。 三、研究中 存在 的 問題 在經典的控制理論中，穩定性分析主要是基于 Bode 曲線和 Nyquist 曲線，它可以用間接的方法處理系統的不確定性問題，同時發展了在增益和相位存在變化時仍能保證閉環系統穩定的增益裕度和相位裕度概念。然而，這些處理方法大多局限于單輸入單輸出系統 (SISO)。隨著時間的推移，科學技術的發展要求處理大量多輸入多輸出系統 (MIMO)的綜合問題，以二次型最優控制 (LQ)為代表的一類多變量控制系統設 計和最優化方法應運而生。 在研究多變量魯棒控制的過程中，先后出現了參數空間法、 Kharitonov型法、狀態空間法、 H? 控制法以及 ? 方法。其中以 H? 控制法應用最多，它以輸出靈敏度函數的 H? 范數作為性能指標，旨在可能發生 “最壞擾動 ”的情況下，使系統的誤差在無窮范數意義下達到極小，從而將干擾問題轉化為求解使閉環系 統穩定，并使相應的 H? 范數指標極小化的輸出反饋控制問題。 H? 設計方案雖然將魯棒性直接反映在設計指標中，將不確定性反映在相應的加權函數上，但它 “最壞情況 ”下的控制卻導致了不必要的保守性；另外， H? 優化控制方法僅僅針對魯棒穩定性而言，忽略了對魯棒性能的要求。導致保守性和忽略魯棒性能的原因主要在于 H? 設計方法是以非結 構化不確定性和小增益定理為設計框架的。因此，多變量魯棒反饋系統設計方法一直存在一個難題，就是不能夠在統一的框架下折衷處理性能指標與魯棒穩定性問題。 與 H? 同期發展的 ? 理論則考慮到了結構化不確定問題，它不但能有效、無保守性的判斷 “最壞情況 ”下攝動的影響而且當存在不同表達形式的結構不確定性情況下，能分析控制系統的魯棒穩定性和魯棒性能問題。從工程的角度看，在設計魯棒控制系統方面投入大量的精力是很有意義的工作，因為 任何一個在指定范圍內引起系統性能下降的不確定參數，系統都能起到調節作用。 對于離散系統，與連續不確定時滯系統不同，它是一個有限維系統，對一個只具有狀態滯后的離散系統，可以通過狀態增維轉化為一個無時滯的離散時間系統。因此很容易把不確定無時滯系統的控制方法擴展到不確定時滯系統，應用離散時間系統的分析和設計方法來進行控制系統的分析和設計。但這樣的處理方法存在不足：首先是由于狀態維數的增加，特別當滯后時間比較大時，使得轉化后的離散系統具有較高的維數，給計算帶來了一定的困難；同時得到的控制規律不僅依賴當前的狀態，還依 賴以前的狀態，從而使得控制系統的成本增加。因此，有必要針對離散不確定時滯系統，研究符合自身特點和要求的控制器設計方法。 四、 研究方向 考慮如下離散線性不確定時滯系統： ( 1 ) ( ) ( ( ) ) , 0 ,: ( ) ( ) , 0 ,x k A x k B x k d k kx k k h k?? ? ? ? ??? ? ? ? ??? 其中 () nxk R? 是狀態向量， A 和 B 是描述系統不確定性的矩陣且滿足凸多面體型： ? ? ? ? 11: ( ) ( ) , 1 0ppj j j j jjjA B A B A B? ? ? ? ????? ??? ? ? ? ? ? ??? ?????? 這里 jA ， jB ( 1, , )jp? 是合適維數的常量矩陣， j? ( 1, , )jp? 是時變不確定性。時滯 ()dk 是一個時變序列滿足： 0 ( )d k h??，這里 h 、 ? 是常量且 ()k? 是 0hk? ? ? 的一個向量值初始條件序列。 對于上述系統提出基于 Lyapunov 第二方法和 LMI 的魯棒穩定性判據，即帶凸多面體不確定性的離散時滯系統的時滯依賴魯棒穩定性判據。 五、 進展情況 國內外對離散系統的研究遠不如連續系統那么廣泛，結果那么多，所以在文獻方面不如連續系統那么全面，因此，前面的研究主要集中在連續系統上，對于離散系統參考的大多都是近年來一些較 新的文獻。 對于連續系統，文 Yong He et al. (2020), Min Wu et al. (2020)提出了一種新的時滯不確定系統的時滯依賴穩定性判據；對于離散系統，文 WeiJie Mao (2020)對離散時變凸多面體不確定系統作了一定的工作，文 ZhongPing Jiang and Yuan Wang (2020)給出了離散帶擾動系統的 Lyapunov 逆理。 雖然離散系統也有其自己的研究方法，但是由于很多連續系統的結果可以很容易的推廣到離散系統中去，目前對于離散系統的研究大多仍基于連續系 統，因此對于連續系統的理解對于研究離散系統有著重要的意義。 參考文獻 [1] Bhattacharyya, S. P. and Keel, L. H. (Ed.) (1991). Control of Uncertain Dynamic Systems. CRC Press, Inc. [2] Choi, H. H. and Chung, M. J.(1995). Memoryless H∞ controller design for linear systems with delayed state and control. Automatica, vol. 31(6):917919. [3] Davision, E. J. (1976). The robust control of a servomechanism problem for linear timeivariant Doyle, J. C. (1982). Analysis of control systems with structured uncertainty. IEE Proc. Part D, 129:242250. [4] Doyle, J. C. (1982). Analysis of control systems with structured uncertainty. IEE Proc. Part D, 129:242250. [5] Doyle, J. C., Francis, B. A. and Tannenbaum, A. R. (1992). Feed back Control Teory. Macmillan Publishing Company, New York. [6] Esfahani, S. H. and Petersen, I. R. (2020). An LMI approach to outputfeedbackguaranteed cost control for uncertain timedelay systems. Int. J. Robust Nonlinear Control, 10:157174. [7] Guan, X., Lin, Z. and Duan, G. (1999). Robust guaranteed cost control for discretetime systems withdelay. IEE Proc. Control Theory Appl., 146(6): 5986032. [8] Kharitonv, V. L. (1978). Asymptotic stability of an equlibrium position of a family of systems of linear differential equations. Differentsialjnie Uravnenija, 14: 20862088. [9] Kim, J. H. and Park, H.