拉格朗日插值逐次線性插值法-資料下載頁

　　

【正文】 得近似：內變化不大，將上面兩在區間假設這 種 直 接 利 用 計 算 結 果 來 估 計 誤 差 的 方 法 ， 稱 為 .事 后估 計 法由上式可見，可以通過兩個結果的偏差 來估計插值誤差 12 yy ?1yy? .第二章 插值與擬合 01102211 * 100 , 121 115.100 144 115115 121115 ( 82 14) 835144 121xxyxxyyy? ? ??????? ? ? ??例 如 ， 在 例 中 ， 用 作 節 點 算 得的 近 似 值同 樣 方 法 ， 用 和 作 節 點 可 算 得 的 另 一 近似 值 為由 事 后 誤 差 估 計 可 估 計 出 插 值 結 果 的 誤 差 為 ：第二章 插值與擬合 ()nL agra nge L x用 插 值 多 項 式 計 算 函 數 近 似 值 ， 如 果 精 度不 滿 足 要 求 就 需 增 加 插 值 節 點 ， 原 來 算 出 的 數 據 均 不 能利 用 了 ， 必 須 重 新 計 算 ， 逐次線性插值法 為克服這一缺點，通常可用逐次線性插值方法求得高次插 值。例如在例 *中： 1211441211151214412114411511)115(~1151001211001151112110012111510)115(11511????????????????????LL第二章 插值與擬合 則 2 1 1111115 144 115 100115 ( 115 ) ( 115 ) ( 115 )100 144 144 100( 115 ) ( 115 )( 115 ) ( 115 100)144 10029 15 44 44 (L L LLLL??? ? ????? ? ? ??? ? ? ?? 與 利 用 拋 物 插 值 得 到 的 有 效 值 一 致 ）第二章 插值與擬合 現在令 表示函數 關于節點 的 n1次插值多項式， 是零次多項式 , , i1,…, in均為非負整數。 一般地，可通過利用兩個 k次插值多次式的線性插值得到（ k+1）次插值多項式： )(21 xI niii ?)(xI ki )()(kk ii xfxI ?1 2, , , ni i ix x x)(xf0 , 1 1 , 0 , 10 , 1 . 0 , 1( ) ( )( ) ( ) ( )k l kk l k klkI x I xI x I x x xxx? ?? ? ??上式是關于 x插值多項式，顯然 0 , 1 , 0 , 1( ) ( ) ( )k l i k i iI x I x f x??i=0， 1， 2 ,…, k1時 (**) 第二章 插值與擬合 0 , 1 , 2 0 , 1 , 2 ,0 , 1 , 20 , 1 , 2 , 0 , 1 , 2( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )k k k k l k kl k ll k l l k l l k llkx x I x I x f xf x I xx x I x I x x x f xxx? ? ??? ? ? ? ??時 ，時 ，從而證明了插值多項式 (**)滿足插值條件。我們稱 (**)為 Aitken（埃特金）逐次線性插值多項式 . 而 第二章 插值與擬合 )()()()()( 111,0,0,1,0,1,0 xxxxxIxIxIxIlll ?????01, lx x x當 k=0時為線性插值。 k=1時插值節點為 三點，公式為 計算時可由 k=0到 k=n1逐次求得所需的插值多項式。計算過程如下 43210xxxxx4433221100)()()()()(IxfIxfIxfIxfIxf?????0 , 10 , 2 0 , 1 , 20 , 3 0 , 1 , 3 0 , 1 , 2 , 30 , 4 0 , 1 , 4 .2. 4 0 , 1 , 2 , 3 , 4 IIII I II I I I4321`0xxxxxxxxxx?????第二章 插值與擬合 公式 (**)也可以改成下面的計算公式 稱之為 NEVILLE（列維爾）算法 ，計算過程如下 1 , 2 , 1 0 , 10 , 1 , 1 0 , 1 010( ) ( )( ) ( ) ( )k k kk k kkI x I xI x I x x xxx????? ? ??43210xxxxx4433221100)()()()()(IxfIxfIxfIxfIxf?????0 , 11 , 2 0 , 1 , 22 , 3 1 , 2 , 3 0 , 1 , 2 , 33 , 4 2 , 3 , 4 1 , 2 , 3 , 4 0 , 1 , 2 , 3 , 4 IIII I II I I I43210xxxxxxxxxx?????第二章 插值與擬合 從表上看每增加一個節點就計算一行，斜線上是 1次到4次插值多項式的值，如精度不滿足要求，再增加一個節點，前面計算完全有效，這個算法適用于計算機上計算，且具有自動選節點并逐步比較精度的特點，程序也比較簡單。算例見教材 (略）。 下面介紹的牛頓插值多項式就克服了這個缺點。它能根據插值條件構造一個插值多項式，它既有具體的表達式，又很容易用它計算任何點的函數值。 逐次線性插值法的優點是能夠最有效地計算任何給定點的函數值，而不需要寫出各步用到的插值多項式的表達式。但如果解決某個問題是 需要插值多項式的表達式 ，那么，它的這個優點就成了它的缺點了。 第二章 插值與擬合 拉格朗日插值 ——采用插值基函數的線性組合來構造插值多項式 含義直觀 形式對稱 優點： 缺點： 計算量大 由插值多項式存在唯一性的定理說明，滿足插值條件的多項式存在，并且插值多項式與構造方法無關。然而，直接求解方程組 ()的方法，不但計算復雜，而且難于得 到 p(x)的簡單表達式。類似于拉格朗日插值，我們還可以給出不同形式的便于使用的其它插值多項式。 第二章 插值與擬合 基本思想 ：在 n次多項式空間 Pn中找一組合適的 基函數 ?0(x), ? 1(x),… , ? n (x),使 pn(x)=b0 ?0(x) +b1 ?1(x) +…+b n ?n(x) (bi 為常數 ) 不同的基函數的選取導致不同的 插值方法 Lagrange插值 Newton插值