不定積分和定積分整章-資料下載頁

　　

【正文】 ?ba , 上連續，則至少存在一點 ? ?ba ,?? ，使得 ? ??baabfxxf ))((d)( ? . 證 將性質 5 中不等式除以 ab ? ，得 m ≤ ??baxxfabd)(1≤ M . 設 ? ??baxxfab?d)(1, 即 mM ??? . 由于 )( xf 為 ? ?ba ,區間上的連續函數 , 所以 , 它能取到介于其最小值與最大值之間的任何一個數值（這就是連續函數的介值定理） .因 此在 ? ?ba , 上至少有一點 ? ，使得 ?? ?)(f ，即 ,)(d)(1 ? ?? ba fxxfab ?.))((d)(? ??ba abfxxf ?中值定理的幾何意義：曲邊 )( xfy ? 在 ? ?ba , 底上所圍成的曲邊梯形面積，等于同一底邊而高為 )( ?f 的一個矩形面積，如下圖所示 . O a b x y ? ) ( ? f ) ( x f y ? 從幾何角度容易看出，數值 ???baxxfabd)(1? 表示連續曲線 )( xfy ? 在 ? ?ba , 上的平均高度，也就是函數)( xf 在 ? ?ba , 上的平均值，這是有限個數的平均值概念的拓廣 . 例 估計定積分 xx de1 1 2? ? ? 的值 . 解 先求 2e)(xxf?? 在 [ 1 , 1 ] 上的最大值和最小值 . 因為2e2)(xxxf???? , 令 0)( ?? xf ，得駐點 x = 0 ，比較 )( xf 在駐點及區間端點處的函數值 ,1e)0(0??f e1e)1()1(1?????ff , 故最大值 1M ? , 最小值 m = e1 . 由估值性質得，e2≤ xxde112??? ≤ 2 . 思考題 1 . 如何表述定積分的幾何意義？根據定積分的幾何意義推證下列積分的值： (1) ??11d xx 。 ( 2 ) xxRRRd22??? 。 (3) ?π20dc o s xx 。 ( 4 ) ??11d xx . 2. 若當 a ≤ x ≤ b , 有 )( xf ≤ )( xg ，問下面兩個式子是否均成立，為什么？ （ 1 ） ?baxxf d)( ≤ ?baxxg d)( 。 （ 2 ） ? xxf d)( ≤ ?baxxg d)( . 一、 變上限的定積分 二、 牛頓 萊布尼茨 （ NewtonLeibniz）公式 微積分基本公式 引例 設物體以速度 )( tvv ? 作直線運動，要求計算],[ 21 TT 時間內的路程 s . 從定積分概念出發，由前面已討論的結果知道 [ 21 , TT ]所經過的路程為 21( ) dTTv t t? . 若從不定積分概念出 發， 則知道函數為? ?? ,)(d)( Ctsttv 其中 )()( tvts ?? ，于是 [ 21 , TT ] 時間內所走路程就是 )()( 12 TsTs ? . 綜合上述兩個方面，得到 ? ??21)()(d)( 12TT TsTsttv . 這個等式表明速度函數 )( tv 在 [ 21 , TT ] 上的定積分 , 等于其原函數 )( ts 在區間 [ 21 , TT ] 上的改變量 . 那么，這一結論有沒有普遍的意義呢？ 設函數 )( xf 在 [ ba , ] 上連續 , ?x [ ba , ] ，于是積分?xaxxf d)( 是一個定數，這種寫法有一個不方便之處，就是x 既表示積分上限，又表示積分變量 . 為避免混淆，我們把積分變量改寫成 t ，于是這個積分就寫成了 ?xattf d)( . 當 x 在 [ ba , ] 上變動時，對應于每一個 x 值 , 積分?xattf d)( 就有一個確定的值，因此 ?xattf d)( 是變上限 x 的一個函數，記作 )( xΦ = ?xattf d)( （ a ≤ x ≤ b ）通常稱函數 )( xΦ 為變上限積分函數或變上限積分，其幾何意義如圖所示 ( 見下頁 ). 一、變上限的定積分 y ) ( x f y ? x O x a b ) ( x Φ 定理 1 如果函數 )( xf 在區間 [ ba , ] 上連續，則變上限積分 )( xΦ = ?xattf d)( 在 [ ba , ] 上可導，且其導數是 ? ???xaxfttfxxΦ )(d)(dd)( （ a ≤ x ≤ b ） . 證 當上限 x 獲改變量 x?時，函數 )( xΦ 獲得改變量為 .d)(? ???? xxx ttfΦ由積分中值定理得 xfΦ ??? )( ? （ ? 在 x 及 xx ?? 之間） , )( ?fxΦ???. 再令 0?? x , 從而 x?? ，由 )( xf 的連續性，得 0li m?? x???xΦ)()(li m xffx????, 即 )()( xfxΦ ?? ，證畢 . 如右圖所示 : y O x a b ? x x ? ? x ) ( x Φ φ ( x ) 推論 連續函數的原函數一定存在 . 且函數)( xΦ = ? xattf d)( 即為其原函數 . 例 1 計算 )( xΦ = ? x tt0 2 ds in 在 x = 0 , 2 π 處的導數 . 解 因為?xttx 02 ds indd= 2s i n x , 故 00s in)0( 2 ???Φ ；224πs i n)2π( ???Φ . 例 2 求下列函數的導數： (1) ? ?? xa att txΦ e )0(dln)( ； 解 這里 )( xΦ 是 x 的復合函數，其中中間變量xu e? ，所以按復合函數求導法則， 有 xxtttuxΦ xxxxua??? ? eeelnd)e(d)dln(dddd. (2) )0(ds i n)( 1 2 ?? ? xxΦ x ?? ? . 解 ???21ds indddd xxxΦ??? )(s in 22????xx??? xxxxx s i n22s i n2????? . 定理 2 設函數 )( xf 在閉區間 ],[ ba 上連續，又 )( xF是 )( xf 的任一個原函數，則有 )()(d)( aFbFxxfba??? . 證 由定理 1 知，變上限積分 ??xattfxΦ d)()( 也是)( xf 的一個原函數，于是知0)()( CxFxΦ ?? , 0C 為一常數 , 即 ? ??xaCxFttf0)(d)( . 我們來確定常數 0C 的值，為此，令 ax ? ，有 ? ??aaCaFttf 0)(d)( ，得 )(0 aFC ?? . 因此有 ? ??xaaFxFttf )()(d)( . 二、 牛頓 萊布尼茨 （ NewtonLeibniz）公式 再令 bx ? ，得所求積分為 ? ??baaFbFttf )()(d)( . 因此積分值與積分變量的記號無關，仍用 x 表示積分變量，即得 ? ??baaFbFxxf )()(d)( , 其中 )()( xfxF ?? . 上式稱為牛頓 萊布尼茨公式，也稱為微積分基本公式 . 為計算方便，該公式常采用下面的格式： ? ???baba aFbFxFxxf )()()(d)( . 例 1 求定積分： ( 1) ? ?212d1 )( xxx ； （ 2 ） ? ?3221 )1(dxxx ；（ 3 ） ??112 d xx . 解 （ 1 ） ? ?? ???212122d)12(d12)(xxxxxx 654)123(213????xxx . （ 2 ） ? ????3221322111)1(dxxxx.x1xd )(d)(11232212??? xx 3221a r c s in2 x? .)21a r c s in32( a r c s in2 ??? （ 3 ） xx ?2在 ]1,1[ ? 上寫成分段函數的形式 ??????????,10,01,)(xxxxxf 于是 ? ? ?? ????1101102dd)(d xxxxxx 101210222?????xx. 例 2 計算 2c o s10del i m2xtx tx? ??. 解 因為 0?x 時 , 1c o s ?x , 故本題屬 00 型未定式 , 可以用洛必達法則來求 . 這里??xttc o s1de2是 x 的復合函數 , 其中 xu c o s? , 所以 ???????xxxtxxtxc o s1c o sc o s222es i n)39。( c o sededd, 于是有 xxxxxtxxxxxxt222c o s0c o s02c o s10e2s inlim2es inlimdelim???????????? e21e211?????. 思考題 1. 若 ?? 2 ds i n)( 2xx ttxf ， ?)( ?? xf 2. 在牛頓 萊布尼茨公式中，要求被積函數 )( xf 在積分區間 ],[ ba 上連續 . 問當 )( xf 在 ],[ ba 區間上有第一類間斷點時，還能否用牛頓 萊布尼茨公式計算定積分？并計算 ? ?22,d)( xxf 其中 ????????????????????.20,12,01,1,10,12,)(22xxxxxxxxf 一、 定積分的換元積分法 二、 定積分的分部積分法 定積分的積分方法 例 1 求 ? ?40 1 d xx . 解一 ?? xx1d tx ?令?? ttt1d2 ???? ttd)111(2 Ctt ???? )1ln(2 回代Cxx ??? ]1ln[2 于是4040)]1ln([21dxxxx????? = 3ln24 ? . 一、定積分的換元積分法 解二 設 tx ? ，即 )0(2?? ttx . 當 0?x 時 , 0?t 。 當 4?x 時， 2?t . 于是)3ln2(2)1ln(2d)111(21d21d40