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了解函數單調性和導數的關系能利用導數研究函數的單調性,-資料下載頁

2025-09-20 15:55本頁面

【導讀】求f在(a，b)內的極值；①函數y＝f在上單調遞增，3．函數f的定義域為開區間(a，b)，導函數f′在(a，b)內的圖象如圖所示，解答：f′＝3x2－2ax＋，其判別式Δ＝4a2－12a2＋12＝12－8a2.當x∈或x∈時，f′>0，f為增函數；f′＝24×5＋22×3a＋b＝0，解得a＝，b＝20.設A，B，求證線段AB中點在曲線y＝f上；f′＝3x2－2(a＋b)x＋ab，則過原點的與曲線y＝f相切的兩條直線的斜率分別為ab，

　　

【正文】殊地對于開區間內的單峰函數極大值即為函數的最大值，極小值即為函數的最小值 . 【方法規律】 (本題滿分 12分 )已知函數 f(x)＝ x3＋ ax2＋ bx，且 f′(－ 1)＝ 0. (1)試用含 a的代數式表示 b； (2)求 f(x)的單調區間； (3)令 a＝－ 1，設函數 f(x)在 x1， x2(x1x2)處取得極值，記點 M(x1， f(x1))， N(x2，f(x2))，證明：線段 MN與曲線 f(x)存在異于 M、 N的公共點 . 解答： (1)由已知 f′(x)＝ x2＋ 2ax＋ b，又 f′(－ 1)＝ 0，則 1－ 2a＋ b＝ 0，即 b＝ 2a－ 1. (2)f′(x)＝ x2＋ 2ax＋ 2a－ 1＝ (x＋ 2a－ 1)(x＋ 1)．若－ (2a－ 1)＝－ 1即 a＝ 1， f′(x)＝ (x＋ 1)2≥0，則 f(x)的遞增區間為 (－ ∞，＋ ∞)；若－(2a－ 1)－ 1，即 a1，則 f(x)的遞增區間為 (－ ∞， 1－ 2a)， (－ 1，＋ ∞)，遞減區間為 (1－ 2a，－ 1)；若－(2a－ 1)－ 1，即 a1，則 f(x)的遞增區間為 (－ ∞，－ 1)， (1－ 2a，＋ ∞)，遞減區間為(－ 1， 1－ 2a)．【答題模板】 (3)由 a＝－ 1， f′(x)＝ (x＋ 1)(x－ 3)， f(x)＝ x3－ x2－ 3x， ① 則當 x＝－ 1， x＝ 3時， f(x)取到極值 f(－ 1)＝ f(3)＝ 9－ 9－ 9＝－ 9. 即兩極值點處的坐標為 (3，－ 9)．不妨設 M 、 N(3，－ 9)，所以過、 (3，－ 9)兩點的直線 MN的方程為由①②消去 y整理得 x3－ 3x2－ x＋ 3＝ 0，令 g(x)＝ x3－ 3x2－ x＋ 3， g(0)＝ 3； g(2)＝ 8－ 12－ 2＋ 3＝－ 1， g(0)0， g(2)0知 g(x)在 (0,2)上存在零點，即線段 MN與曲線 f(x)存在異于 M、 N的公共點． 1. 導數的應用是高考考查的重點和熱點，更多的與曲線的切線，函數的性質、不等式、數列等內容進行綜合考查，以解答題的形式出現，充分體現數形結合，分類討論等重要的數學思想方法，體現數學應用的重要性． 2．本題主要考查通過求導、解決函數的單調性和函數零點存在等問題． 3．近年來對以三次函數為背景的問題的考查愈演愈烈．對三次函數圖象和性質有必要進行系統的挖掘和研究 . 【分析點評】點擊此處進入作業手冊

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