高等數學第十章曲線積分-資料下載頁

　　

【正文】 所圍成 L的閉區域包括原點 , 那么 、 在 所圍成的閉區域上不 )0 ,0( P Q L滿足格林公式（積分與路徑無關的條件）。此時，我們可取 Green公式 ,由此將 上的曲線積分轉化為 上的曲線積分 . 1LL一條包圍點 的特殊的封閉光滑曲線 , 在 上應用 1L 1LL?)0,0(解： 因 , , 則 22 4) ,( yxyyxP?? 22 4) ,( yxxyxQ???,)4( 4 22222yxyxyP????? .)4(422222yxyxxQ????? 故 . xQyP?????（ 1） 若給定的曲線 圍成的閉區域不包括原點 . 由 L )0 ,0(xQyP?????知曲線積分 與路徑無關 , 故 . ???L yxxdyydx 22 4 04 22 ????L yxxdyy dx（ 2） 若給定的曲線 所圍成的閉區域包括原點 , 則取一條 L )0 ,0(特殊的有向曲線 ( 充分小 ), 規定 的方向為 2221 4 : ??? yxL 0?? 1L逆時針（如圖所示）。 設 所圍成的區域為 , )( 1LL ?? D則在 上應用 Green 公式，得 )( 1LL ?? xyL1L0,0)(41 22????????? ??? ? dxdyyPxQyx xdyy dxDLL所以 . 而 ???????1 22 22 44 LL yxxdyy dxyxxdyy dx?? ????? 11 2 22 14 LL xdyy dxyx xdyy dx ?????? ??Ddxd y21 2故 ??????L yxxdyy dx 22 4或利用參數方程計算：令 : , , 從 到 . 1L ?? c o s?x ?? sin2?y? 0 ?2所以 ???????1 22 22 44 LL yxxdyy dxyxxdyy dx???????????? ? 2 0 2222 )c o s( s i n21d【 例 7】 計算曲線積分 , 其中 ? ????Lyy dyexdxxeI 222 )1()1(為 在第一象限沿逆時針方向的半圓弧 . L 4)2( 22 ??? yx解：記 , . 則由于 , yxeP 21 ?? 122 ?? yexQxQxeyP y?????? 22? ???? 1 222 )1()1(L yy dyexdxxe.12)1(0 4 ???? ? dxx分析 本題若直接轉化為定積分計算是比較繁的。我們可以 先看 以決定是否用格林公式或其他的方法計算。 ,yPxQ ?????則所給積分與路徑無關。現取 , 從 變到 。 0 :1 ?yL 4 0x? ???? L yy dyexdxxeI 222 )1()1(則有 【 例 8】 設位于點 的質點 對質點 的引力大小為 )1 ,0(2rkA M（ 為常數 , 為質點 對質點 之間的距離 ), 質點 0?k A Mr M22 xxy ?? 沿曲線自 運動到 .求在此運動過程 )0 ,2(B )0 ,0(O分析 設質點 對質點 的引力 . A M ??? ?? jyxQiyxPF ) ,() ,(因此，問題的關鍵是寫出引力 的表達式 . ?F中質點 對質點 的引力所作的功 . MA? ?? BO dyyxQdxyxPW ) ,() ,(則所求的功為 解： 作圖如右圖所示，可知 },1 ,{}1 ,0{ yxyxMA ??????.)1(|| 22 yxMAr ????引力 的方向與 一致 , ?F MA故 , 于是 }1 ,{32 yxrkrMArkF ??????? ???? BO dyyxdxrkW 3 ])1([ ? ?????? )0,0( )0,2 ( 232222])1([])1([21yxyxdk)0,0()0,2(2122 ])1()[2(21 ???????? yxk ).511( ?? kxyO)1,0(A)0,2(B) , ( y x M 分析 由于場力沿路徑所作的功為 , ? ??? L y dykxdxkW 33 ??所以證明場力所作的功與所取的路徑無關的問題，實質上就是證明上述曲線積分與路徑無關的問題。 證明：場力沿路徑所作的功為 , ???? L y dykxdxkW 33 ??【 例 9】 設在半平面 內有力 構成力場 , 0?x)(3 ??? ??? jyixkF ?其中 為常數， , 證明在此力場中場力所作的功 22 yx ???與所取的路徑無關。 k令 , 。 則 233 )( yxkxxkP?????? 233 )( yxkyykQ?????? .)(2325 yPyxkxyxQ????????由于右半平面為單連通區域，且 , 所以場力所作的功 yPxQ?????與所取的路徑無關。