[高考]高考數學一輪教案圓錐曲線經典例題及總結-資料下載頁

【導讀】第一定義中要重視“括號”內的限制條件：橢圓中，與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數2a，若2a＝|F1F2|，則軌跡是以F1，F2為端點的兩條射。線，若2a﹥|F1F2|，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。），焦點在y軸上時。拋物線：開口向右時22ypxp??雙曲線：由x2,y2項系數的正負決定，焦點在系數為正的坐標軸上；提醒：在橢圓中，a最大，222abc??其中長軸長為2a，短軸長為2b；④準線：兩條準線2axc??e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁。為例）：①范圍：0,xyR??，沒有對稱中心，只有一個頂點（0,0）；和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；②P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區域內時，分別為A1，B1，若P為A1B1的中點，則PA⊥PB；若AO的延長線交準線于C，則BC平行于x軸，算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。中，以00(,)Pxy為中點的弦所在直線的斜率k=. 是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，

　　

【正文】 問題可以通過參數法求解 . 因此，首先是選定參數，然后想方設法將點 Q 的橫、縱坐標用參數表達，最后通過消參可達到解題的目的 . 由于點 ),( yxQ 的變化是由直線 AB 的變化引起的，自然可選擇直線 AB 的斜率 k 作為參由蓮山課件提供 資源全部免費 由蓮山課件提供 資源全部免費 數，如何將 yx, 與 k 聯系起來？一方面利用點 Q在直線 AB 上；另一方面就是運用題目條件： APPB AB?? 來轉化 .由 A、 B、 P、 Q四點共線，不難得到)(8 2)(4 BA BABA xx xxxxx ?? ???，要建立 x 與 k 的關系，只需將直線 AB 的方程代入橢圓 C的方程，利用韋達定理即可 . 通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經做到心中有數 . 將直線方程代入橢圓方程，消去 y，利用韋達定理 利用點 Q 滿足直線 AB 的方程： y = k (x— 4)+1，消去參數k 點 Q 的軌跡方程 QBAQPBAP ?? )(8 2)(4 BA BABA xx xxxxx ?? ??? ? ?kfx? 由蓮山課件提供 資源全部免費 由蓮山課件提供 資源全部免費 在得到 ? ?kfx? 之后，如果能夠從整體上把握，認識到：所謂消參，目的不過是得到關于 yx, 的方程（不含 k），則可由 1)4( ??? xky 解得41???xyk，直接代入 ? ?kfx? 即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。 簡解 ：設 ? ? ),(),(, 2211 yxQyxByxA ， ，則由QBAQPBAP ??可得：xx xxx x ????? 2 12 144， 解之得：)(8 2)(4 21 2121 xx xxxxx ?? ??? （ 1） 設直線 AB 的方程為： 1)4( ??? xky ，代入橢圓 C 的方程，消去 y 得出關于 x的一元二次方程： ? ? 08)41(2)41(412 222 ??????? kxkkxk （ 2） ∴ ???????????????.12 8)41(2,12 )14(42221221kkxxkkkxx 代入（ 1），化簡得： .234 ??? kkx (3) 與 1)4( ??? xky 聯立，消去 k 得： ? ? .0)4(42 ???? xyx 在（ 2）中，由 0246464 2 ?????? kk ，解得 4 1024 102 ???? k ，結合（ 3）可求得 .9 102169 10216 ???? x 故知點 Q 的軌跡方程為： 042 ??? yx （ 9 102169 10216 ???? x ） . 點 評： 由方程組實施消元 ， 產生一個標準的關于一個變量的一元二次方程，其判別式、由蓮山課件提供 資源全部免費 由蓮山課件提供 資源全部免費 韋達定理模塊思維易于想到 . 這當中，難點在引出參，活點在應用參，重點在消去參 .，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道 . 求根公式 法 例 5 設直線 l 過點 P（ 0， 3），和橢圓 x y2 29 4 1? ? 順次交于 A、 B 兩點，試求 APPB 的取值范圍 . 分析：本題中，絕大多數同學不難得到： APPB=BAxx?，但從此后卻一籌莫展 , 問題的根源在于對題目的整體把握不夠 . 事實上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構造所求變量關于某個（或某幾個）參數的函數關系式（或方程），這只需利用對應的思想實施；其二則是構造關于所求量的一個不等關系 . 分析 1: 從第一條想法入手， APPB =BAxx? 已經是一個關系式，但由于有兩個變量 BAxx, ，同時這 兩個變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第 3 個變量 —— 直線 AB的斜率 k. 問題就轉化為如何將 BAxx, 轉化為關于 k 的表達式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去 y 得出關于 x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出 . 簡解 1：當直線 l 垂直于 x 軸時，可求得 51??PBAP 。 當 l 與 x 軸不垂直時 ，設 ? ? )(, 2211 yxByxA ，直線 l 的方程為： 3??kxy ，代入橢圓方程，消去 y 得 ? ? 0455449 22 ???? kxxk 解之得 .49 59627222,1 ? ???? k kkx 所求量的取值范圍 把直線 l 的方程 y = kx+3 代入橢圓方程，消去 y得到關于 x 的一元二次方程 xA= f（ k）， xB = g（ k） 得到所求量關于 k 的函數關系式 求根公式 AP/PB = — （ xA / xB） 由判別式得出 k 的取值范圍 由蓮山課件提供 資源全部免費 由蓮山課件提供 資源全部免費 因為橢圓關于 y 軸對稱，點 P 在 y軸上，所以只需考慮 0?k 的情形 . 當 0?k 時，49 59627 2 21 ? ???? k kkx，49 59627 2 22 ? ???? k kkx， 所以 21xxPBAP ?? = 5929 5929 2 2?? ??? kk kk = 5929 181 2 ??? kk k =25929181k???. 由 ? ? 0491 8 0)54( 22 ?????? kk , 解得 952?k， 所以 515929 1811 2 ??????? k， 綜上 511 ???? PBAP. 分析 2: 如果想構造關于所求量的不等式，則應該考慮到：判別式往往是產生不等的根源 . 由判別式值的非負性可以很快確定 k 的取值范圍，于是問題轉化為如何將所求量與k 聯系起來 . 一般來說，韋達定理總是充當這種問題的橋梁，但本題無法直接應用韋達定理，原因在于21xxPBAP ?? 不是關于 21,xx 的對稱關系式 . 原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構造關于 21,xx 的對稱關系式 . 簡解 2：設直線 l 的方程為： 3??kxy ，代入橢圓方程，消去 y 得 ? ? 0455449 22 ???? kxxk （ *） 把直線 l 的方程 y = kx+3 代入橢圓方程，消去 y得到關于 x 的一元二次方程 xA+ xB = f（ k）， xA xB = g（ k） 構造所求量與 k 的關系式 關于所求量的不等式 韋達定理 AP/PB = — （ xA / xB） 由判別式得出 k 的取值范圍 由蓮山課件提供 資源全部免費 由蓮山課件提供 資源全部免費 則?????????????.49 45,49 54221221kxxkkxx 令 ??21xx ，則， .204532421 2 2???? k k?? 在（ *）中，由判別式 ,0?? 可得 952?k， 從而有 53620453244 2 2 ??? k k，所以 536214 ???? ??，解得 551 ???. 結合 10 ??? 得 151 ???. 綜上， 511 ???? PBAP . 點評 ：范圍問題不等關系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等 式法，變量的有界性法，函數的性質法，數形結合法等等 . 本題也可從數形結合的角度入手，給出又一優美解法 . 解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時局部的勝利并不能說明問題，有時甚至會被局部所糾纏而看不清問題的實質所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運籌帷幄，方能決勝千里 . 第三、推理訓練 ： 數學推理是由已知的數學命題得出新命題的基本思維形式，它是數學求解的核心。以已知的真實數學命題，即定義、公理、定理、性質等為依據，選擇恰當的解題方法，達到解題目標，得出結論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。 例 6 橢圓長軸端點為 BA, ， O 為橢圓中心， F 為橢圓的右焦點 ， 且 1??FBAF ，1?OF ． （Ⅰ） 求橢圓的標準方程； （Ⅱ） 記橢圓的上頂點為 M ，直線 l 交橢圓于 QP, 兩點，問：是否存在直線 l ，使點 F恰為 PQM? 的垂心？若存在，求出直線 l 的方程 。若不存在，請說明理由 。 思維流程： 由蓮山課件提供 資源全部免費 由蓮山課件提供 資源全部免費 （Ⅰ） （Ⅱ） 消元 解題過程： （Ⅰ） 如圖建系，設橢圓方程為 2222 1( 0 )xy abab? ? ? ?,則 1c? 又 ∵ 1??FBAF 即 22( ) ( ) 1a c a c a c? ? ? ? ? ?， ∴ 2 2a? 故橢圓方程為 2 2 12x y?? （Ⅱ） 假設存在直線 l 交橢圓于 QP, 兩點，且 F 恰為 PQM? 的垂心，則 設 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y， ∵ (0,1), (1,0)MF，故 1?PQk ， 于 是設直線 l 為 y x m?? ，由2222y x mxy???? ???得 ， 223 4 2 2 0x m x m? ? ? ? ∵ 1 2 2 10 ( 1 ) ( 1 )M P F Q x x y y? ? ? ? ? ? 又 ( 1, 2)iiy x m i? ? ? 得 1 2 2 1( 1 ) ( ) ( 1 ) 0x x x m x m? ? ? ? ? ? 即 21 2 1 22 ( ) ( 1 ) 0x x x x m m m? ? ? ? ? ? 由韋達定理得 2 22 2 42 ( 1 ) 033mm m m m?? ? ? ? ? ? 2, 1ab?? 寫出橢圓方程 由 1AF FB??， 1OF? ( )( ) 1a c a c? ? ?， 1c? 1PQk ? 由 F 為 PQM? 的重心 ,P Q M F M P F Q?? 2222y x mxy???? ??? 223 4 2 2 0x m x m? ? ? ? 兩根之和， 兩根之積 0MP FQ?? 得出關于 m 的方程 解出 m 由蓮山課件提供 資源全部免費 由蓮山課件提供 資源全部免費 解得 43m?? 或 1m? （舍） 經檢驗 43m?? 符合條件 ． 點石成金： 垂心的特點是垂心與頂點的連線垂直對邊，然后轉化為兩向量乘積為零 ． 例 已知橢圓 E 的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經過 ( 2,0)A? 、 (2,0)B 、31,2C??????三點． （Ⅰ）求橢圓 E 的方程： （Ⅱ）若點 D 為橢圓 E 上不同于 A 、 B 的任意一點， ( 1, 0), (1, 0)FH? ，當Δ DFH 內切圓的面積最大時，求Δ DFH 內心的坐標； 思維流程： （Ⅰ） （Ⅱ） 解題過程： （Ⅰ）設橢圓方程為 122 ??nymx ? ?0,0 ?? nm ， 將 ( 2,0)A? 、 (2,0)B 、 3(1, )2C代入橢圓 E的方程，得 4 1,9 14mmn???? ????解得 11,43mn??.∴橢圓 E 的方程 22143xy?? ． 得出 D 點坐標為 ???????? ? 33,0 由橢