[理學]高數第二章習題解答-資料下載頁

　　

【正文】 ? ? ?? ? ? ? ? ? ?． 即 223 , 0 ,39。( ) 3 , 0。xxx xx? ???? ? ?? 同理可得 6 , 0 ,( ) ( 0 ) 06 , 0 ,xxx xx??????? ????? ??，即 6 , 0( ) 6 | |6 , 0xxxxxx? ????? ??? ??； 因 ||yx? 在 0x? 處不可導 (0)????? 不存在 .應選 ( C ) ． 3. 解 討論函數 3( ) lim 1 | | nnnf x x????的不可導點，應分兩步走， (1)由 3lim 1 | | nnn x?? ?求得 ()fx的 (分段 )表達式， (2)討論 ()fx的不可導點 . 應選 ( C )．當 | | 1x? 時， 31 1 | | 2nnnn x? ? ?，命 n?? 取極限，得 25 3( ) lim 1 | | 1nnnf x x??? ? ? 當 | | 1x? 時， 3 3 3 3| | 1 | | 2 | | 2 | |n n n nn n nx x x x? ? ? ?，命 n?? 取極限，得 33( ) lim 1 | | | |nnnf x x x??? ? ? 于是 ???????? 31 , | | 1 ,() | | . | | 1 .xfx xx 再 討論 ()fx的不可導點．按導數定義，易知 ??1x 處， ()fx不可導，故選 ( C )． 4. 解 當函數中出現絕對值號時 ,就有可能出現不可導的 ”尖點 ”.因為這時的函數是分段函數 . 23( ) ( 2 )| |f x x x x x? ? ? ?,當 0, 1x??時 ()fx 可導 ,因而只須對 0, 1x??考察()fx 是否可導 .在這些點我們分別考察其左、右導數。因 222222( 2 ) (1 ), 1 ,( 2 ) ( 1 ), 1 0 ,()( 2 ) (1 ), 0 1 ,( 2 ) ( 1 ), 1 ,x x x x xx x x x xfxx x x x xx x x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ??? ? ??? ? ? ??221 ( 2 ) (1 )( 1 ) lim 0 ,1x x x x xf x ?? ??? ? ?? ? ? ??221 ( 2 ) ( 1 )( 1 ) lim 0 ,1x x x x xf x 即 ()fx 在 1x?? 處可導，又 ?? ?? ? ? ?? ??220 ( 2 ) ( 1 ) 0(0 ) lim 2 ,x x x x xf x ?? ?? ? ? ?? ? ? ?220 ( 2 ) (1 ) 0(0 ) lim 2 ,x x x x xf x 所以 ()fx 在 0x? 處不可導 . 類似 ,函數 ()fx 在 1x? 處亦不可導 ,因此 ()fx 只有 2 個不可導點 ,故應選 ( B ). （ 5）解：依題意：2( 0 ) (1 0 )(1 ) ( 0 ) 210yyy ? ? ??? ? ? ? ?? 故 (1) 2y ?? ，選（ A） （ 6）解：選（ B） （ 7）解：選（ D） （ 8）解：選（ B） 二 . 填空題 1. 設函數 )(xf 處處可導，且有 1)0(39。 ?f ，并對任何實數 x 和 h ， 恒 有hxhfxfhxf 2)()()( ???? ，則 ?)(39。 xf __________ ()fx在 0x 處可導，則0lim?h ???? h hnxfmhxf )()( 00 . ()y yx? 由方程 26 1 0ye xy x? ? ? ?確定，由 ?? ?(0)y . lnyx? 上與直線 1xy??垂直的切線方程為 26 ()y yx? 由方程 2xy xy?? 所確定 ,則 0|xdy? ? xexyxarccos)1(ln ??,則 ?)0(39。y . xxy n ???? 22ln)2( ，則 ?)1()(ny ． 參考答案： 1 解：令 h=0 得 f(0)=0,00( ) ( ) ( )39。( ) l im l im 2hhf x h f x f hf x xhh????? ? ? 0( ) ( 0 )l im 2 39。( 0 ) 2 1 2hf h f x f x xh??? ? ? ? ? ? 2 解：0lim?h 00( ) ( )f x m h f x n hh? ? ? =0lim?h 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )f x m h f x f x f x n hh? ? ? ? ? =0lim?h 0 0 0 00( ) ( ) ( ) ( )l imhf x m h f x f x f x n hnm h n h?? ? ? ??= 0( ) 39。( )m n f x? 3 解： 方程兩邊對 x 兩次求導得 26 6 2 0 , 6 12 2 0y y ye y x y y x e y e y x y y? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?． 以 0x? 代入原方程得 0y? ，以 0xy??代入前方程得 0y?? ，再以 0x y y?? ? ? 代入后方程得 (0) 2y?? ?? ． 4 解：依題意 1 1k x??得， x=－ 1, y=0,于是所求法線方程為： y=x+1. 5 解：對 x 求導得： 2 ln 2( 39。) 1 39。,xy y x y y? ? ?則 2 ln 2 139。,12xy xyyy x ?? ? 于是 2 ln 2 139。,12xy xyyd y y d x d xx ??? ? 0|xdy? ? (0,1)| (ln 2 1)dy dx?? 6 解： 1 1 1l n (1 ) l n a r c c o s2 2 2y x x x? ? ? ?，對 x 求導得： 2211 1 1139。2( 1 ) 2 2 a r c c os 2( 1 )2 1 a r c c osxxyx x xxx?? ? ? ? ? ??? ?， 從而 139。(0)y ?? 7 解： ( 2 ) ln( 2 ) ln( 2 )ny x x? ? ? ? ?，則， ( 1) 1122ny xx? ????， 27 ()2 2 2 21 1 8( 2 ) ( 2 ) ( 4 )n xy x x x? ? ? ?? ? ? 三 . 解答題 １ ．試從 1dxdy y? ?導出： (1) 223( 39。)d x ydy y??； (2) 32353( ) 39。 39。39。39。( 39。)d x y y yd y y??． 證明 (1) 22 2 31 1 1 1 ()d x d d x d d d x yyd y d y d y d y y d x y d y y y y ??? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?； (2) 3 2 3 23 2 3 639。 3 1()d x d d x d y d x y y y y yd y d y d y d y y d y y y?? ??? ? ?? ? ???? ?? ??? ? ? ? ??? ?? ? ? ?????= 253( )()y y yy?? ? ?????. . ２．求下列函數所指定的階的導數： (1) cos ,xy e x? 求 (4)y ； (2) sin ,y x hx? 求 (100)y ； (3) 2 sin 2 ,y x x? 求 (50)y ． 解 (1) 39。 (c os si n ),xy e x x?? ( c os sin sin c os ) 2 sin ,xxy e x x x x e x? ? ? ? ? 39。39。39。 2 ( sin c o s ) ,xy e x x? ? ? ( 4 ) 2 ( sin c o s c o s sin ) 4 c o s .xxy e x x x x e x? ? ? ? ? ? ? (2) ( 10 0 ) 99 ( 99 ) ( 10 0 )1000 39。( sin ) ( sin ) 1 0 0 c o s sin .y C x h x x h x h x x h x? ? ? ? ? (3) ( 50 ) 48 2 ( 48 ) 49 2 ( 49 ) 2 ( 50 )50 500 ( ) ( sin 2 ) ( ) 39。( sin 2 ) ( sin 2 )y C x x C x x x x? ? ? ? 4 8 4 92 5 05 0 4 9 4 92 sin ( 2 4 8 ) 2 5 0 2 2 sin ( 2 )2 2 2502 sin ( 2 )2x x xxx????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 5 0 212252 ( si n 2 5 0 c o s 2 si n 2 )2 x x x x x? ? ?． 3．用對數求導法求下列函數的導數： (1) ln 45s in 2 ( 3 )。 ( 2 ) 。( 1 )xx x xyyxx ???????? ??? 解：（ 1）等號兩邊取對數得： ? ?ln ln ln sin lny x x x??，再對 x 求導得： ? ?39。 1 c o s 1l n s in l n l ns inyxx x xy x x x??? ? ? ?????，整理得： lns in l n s in 2 l n39。 c o t l nxx x xy x xxx ?? ? ? ????? ??? ? ? ? （ 2） 等號兩邊取對數得： 1l n l n ( 2 ) 4 l n ( 3 ) 5 l n ( 1 )2y x x x? ? ? ? ? ?，再對 x 求導 28 得： 39。 1 4 52 ( 2 ) 3 1yy x x x? ? ?? ? ?，整理得： 452 ( 3 ) 1 4 539。 ( 1 ) 2 ( 2 ) 3 1xxy x x x x????? ? ???? ? ? ??? 4．設??? ????? ),()( ),( tftfty tfx 其中 )(tf 三階可導且 0)( ??? tf ，求 22dxyd ， 33dxyd . 解：由參數方程求導法則，得 ])([ ])()([/ ?? ??????? tf tftftdtdxdtdydxdyy ttf tftfttf ??? ??????? )( )()()(， 從而 )(1])([ )(/22 tftf tdtdxdtyddx ydy ????? ???????， ])(/[])(1[/33 ????????? tftfdtdxdtyddx yd 32 )]([ )()(/)]([ )( tf tftftf tf ??????????? ????? 5．設 3 ,0() ||0, 0x xfx xx? ??? ????，求復合函數 ( ) [ ( )]x f f x?? 的導數，并討論 39。()x? 的連續性． 解： 解 9 5 ,0( ) [ ( ) ] ||0 , 0x xx f f x xx? ??? ? ? ????． 當 0x? 時， 4()xx??,故 39。3( ) 4xx?? ； 當 0x? 時， 4()xx? ?? ,故 39。3( ) 4xx? ?? ． 當 0x? 時 , ??????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?00( ) ( 0 ) ( ) ( 0 )( 0 ) l i m 0 , ( 0 ) l i m 0 .xxxx 故 ()x? 在 0x? 處可導 ,且 ???(0) 0 ． 綜上所述有 ? ???? ? ??????334 , 0( ) 0, 04 , 0xxxxxx 顯然??????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?00(0 ) l i m ( ) 0 l i m ( ) (0 ) (0 )xxxx，因此， ??()x 在 0x? 處連續，進而易知 ??()x 在 (