[學科競賽]歷屆第1-23屆希望杯數學競賽初一七年級真題及答案-資料下載頁

　　

【正文】 來， b到原點的距離大于 a到原點的距離，如圖 18所示．所以 b＞ a＞ a＞ b，選 A． 4．由于兩個整數 a， b前面任意添加“ +”號或“ ”號，其代數和的奇偶性不變．這個性質對 n個整數也是正確的．因此， 1， 2， 3?， 1991， 1992，的每一個數前面任意添上“ +”號或“ ”號，其代數和的奇偶性與 (1)+23+45+67+8? 1991+1992=996的奇偶性相同，是偶數，所以選 B． 5．原來 1991個數的平均數為 m，則這個 1991個數總和為 m179。 1991．當 m混入以后，那 1992個數之和為 m179。 1991+m,其平均數是 1992， ∴ m=1992，選 C． 6．在四個互不相等的正數 a， b， c， d中， a最大 ， d最小，因此有 a＞ b， a＞ c， a＞ d，b＞ d， c＞ d． 所以 a+b＞ b+c，成立，選 B． 7．由方程組 42 以及 p為偶數， q為奇數，其解 x， y又是整數． 由①可知 x為偶數，由②可知 y是奇數，選 B． 8．由 xy=2 ① 平方得 x22xy+y2=4 ② 又已知 x2+y2=4 ③ 所以 x， y中至少有一個為 0，但 x2+y2=4．因此， x， y中只能有一個為 0，另一個為 2或2．無論哪種情況，都有 x1992+y1992=01992+(177。 2)1992=21992，選 C． 9．設 10x+y=a，又 3x2y=1，代入前式得 由于 x， y取 0— 9的整數， 10x+y=a的 a值取非負整數．由 (*)式知，要 a為非負整數， 23x必為奇數，從而 x必取奇數 1， 3， 5， 7， 9． 三個奇數值， y相應地取 1， 4， 7這三個值．這時， a=10x+y可以取到三個不同的值 11，34和 57，選 C． 二、填空題 提示： 43 與 666，所以最大的一個偶數與最小的一個偶數的平方差等于 66626622=(666+662)(666662)=1328179。 4=5312． 3．由于 x3+y3=1000，且 x2yxy2=496，因此要把 (x3y3)+(4xy22x2y)2(xy2y3)分組、湊項表示為含 x3+y3及 x2yxy2的形式，以便代入求值，為此有 (x3y3)+(4xy22x2y)2(xy2y3)=x3+y3+2xy22x2y=(x3+y3)2(x2yxy2)=10002(496)=1992． 4．由于三個互不相等的有理數，既可表示為 1， 下，只能是 b=1．于是 a=1． 所以， a1992+b1993=(1)1992+(1)1993=1+1=2． 5．設這堆核桃共 x個．依題意 我 們以 m表示這堆核桃所剩的數目（正整數），即 目標是求 m的最小正整數值． 可知，必須 20|x即 x=20， 40， 60， 80，?? 44 m為正整數，可見這堆核桃至少剩下 6個． 由于 x取整數解 3，表明 x不小于 3， 即 9≤ a＜ 12． 可被第三個整除，應有 b|a+c． ∴ b≥ 2，但 b|2，只能是 b=2． 于是 c=1， a=3．因此 a3+b3+c3=33+23+13=27+8+1=36． 8．因為 a=1990， b=1991， c=1992，所以 a2+b2+c2abbcca 9．將 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11填入這 10個格子中，按田字格 4個數之和均等于 p，其總和為 3p，其中居中 2個格子所填之數設為 x與 y，則 x、 y均被加了兩次，所以這 3個田字形所填數的總和為 2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+x+y=65+x+y 于是得 3p=65+x+y． 要 p最大，必須 x， y最大，由于 x+y≤ 10+11=21． 所以 3p=65+x+y≤ 65+21=86． 45 所以 p取最大整數值應為 28． 事實上，如圖 19所示可以填入這 10個數使得 p=28成立． 所以 p的最大值是 28． 10． 設 A1， A2， A3， A4， A5的單價分別為 x1， x2， x3， x4， x5元． 則依題意列得關系式如下： ③179。 2④式得 x1+x2+x3+x4+x5=2179。 19922984=1000． 所以購買每種教具各一件共需 1000元． 三、解答題 1．解①（邏輯推理解） 我們知道，用 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9排成的最大九位數是 987654321．但這個數不是 11倍的數，所以應適當調整，尋求能被 11整除的最大的由這九個數碼組成的九位數． 設奇位數字之和為 x，偶位數字之和為 y． 則 x+y=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45． 由被 11整除的判別法知 xy=0， 11， 22， 33或 44． 但 x+y與 xy奇偶性相同，而 x+y=45是奇數，所以 xy也只能取奇數值 11或 33． 于是有 但所排九位數偶位數字和最小為 1+2+3+4=10＞ 6．所以（Ⅱ）的解不合題意，應該排 46 除，由此只能取 x=28， y=17． 987654321的奇位數字和為 25，偶位數字和為 20，所以必須調整數字，使奇位和增 3，偶位和減 3才行。為此調整最后四位數碼，排成 987652413即為所求． 解②（觀察計算法） 987654321被 11除余 5．因此， 987654316是被 11整除而最接近 987654321的九位數．但987654316并不是由 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9排成的，其中少數字 2，多數字 6．于是我們由 987654316開始，每次減去 11，直到遇到恰由 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9九個數字組成的九位數為止．其過程是 987654316→ 987654305→ 987654294→ 987654283 → 987654272→ 987654261→ 987654250→ 987654239 → 987654228→ 987654217→ 987654206→ 987654195 → 987654184→??→ 987652435→ 987652424 → 987652413． 這其間要減去 173次 11，最后得出一個恰由九個數碼組成的九位數 987652413，為所求，其最大性是顯見的，這個方法雖然操作 173次，但算量不繁，尚屬解決本題的一種可行途徑，有一位參賽學生用到了此法，所以我們整理出來供大家參考． 2． (1)答：由于 428571=3179。 142857，所以 428571是一個“希望數”． 說明：一個自然數 a，若將其數字重新排列可得一個新的自然數 b．如果 a恰 是 b的 3倍，我們稱 a是一個“希望數”．這實際上給出了“希望數”的定義。考察參賽學生閱讀理解定義的能力，并能舉例說明被定義的對象存在．在一位數、二位數、三位數中找不到“希望數”．而在四位數中很容易找到實例． 如： 3105=3179。 1035，所以 3105是個“希望數”； 或： 7425=3179。 2475，所以 7425是個“希望數”； 或： 857142=3179。 285714，所以 857142是個“希望數”； 以下我們再列舉幾個同學們舉的例子供參考，如： 37124568=3179。 12374856 43721586=3179。 14573862 692307=3179。 230769 461538=3179。 153846 47 705213=3179。 235071 8579142=3179。 2859714 594712368=3179。 198237456 37421568=3179。 12473856 341172=3179。 113724． 可見 37124568， 43721586， 592307， 461538， 705213， 8579142， 594712368， 37421568，341172都是希望數，事實上用 3105是希望數，可知 31053105也是“希望數”，只要這樣排下去，可以排出無窮多個“ 希望數”．因此，“希望數”有無窮多個． (2)由 a為“希望數”，依“希望數”定義知，存在一個由 a的數字重新排列而成的自然數 p，使得 a=3p并且 a的數字和等于 p的數字和． 由 a=3p和 a為 3的倍數． 因此 a被 9整除． 于是 a是 27的倍數． 這樣就證明了，“希望數”一定能被 27整除． 現已知 a， b都是“希望數”，所以 a， b都是 27的倍數． 即 a=27n1， b=27n2（ n1， n2為正整數）． 所以 ab=(27n1)(27n2) =(27179。 27)(n1179。 n2) =729n1n2． 所以 ab一定是 729的倍數． 48 希望杯第四屆（ 1993 年）初中一年級第 1 試試題 一、選擇題 :（每題 1分，共 15分） 1．若 a是有理數 ,則 1 2 3 4 5m a a a a a? ? ? ? ?一定不是 ( ) A．正整數． B．負整數． C．負分數． D．零． {1993[1993(19921993)]}的值等于 ( ) A． 1995． B． 1991． C． 1995． D． 1993． 3．若 a＜ b，則 (ab)|ab|等于 ( ) A． (ab)2． B． b2a2． C． a2b2． D． (ab)2． n是正整數 ,并且有理數 a,b滿足 a+1b =0,則必有 ( ) + 21 nb??????=0。 + 211 nb???????=0。 + 31 nb??????=0。 +1+ 211 nb???????=0. a,b滿足 11ab? =0,則下列說法中不正確的一個是 ( ) A． a與 b的和是 0． B． a與 b的差是正數． C． a與 b的積是負數． D． a除以 b，得到的商是 1． 6張卡片上分別寫有 4,1,334 ,15,乙的 6張卡片上分別寫有5,1,8,1212 ,則乙的卡片上的最小數 a與甲的卡片上的最大數 b的 比 ab的 值等于 ( ) A． 1250． B． 0． C． ． D． 800． 7． a是有理數，則在下列說法中正確的一個是 ( ) A． a是負數． B． a2是正數． C． |a2|是負數． D． (a1993)2+． 1 9 1 9 1 9 1 9 0 1 9 0 1 9 0 0 1 9 0 09 3 9 3 9 3 9 3 0 9 3 0 9 3 0 0 9 3 0 0?? 的值等于 ( ) 。 。 。 . . 9．在下列條件中，能使 ab＜ b成立的 是 ( ) A． b＞ 0， a＞ 0． B． b＜ 0， a＜ 0． C． b＞ 0， a＜ 0． D． b＜ 0， a=0． 49 a= ????????,b= ????????,c= ( )????????,則 a,b,c的大小關系是 ( ) A． a＞ b＞ c． B． a＞ c＞ b． C． b＞ c＞ a． D． c＞ b＞ a． 11．有理數 a、 b小于零，并且使 (ab)3＜ 0，則 ( ) ? 。 b。 a丨 丨 b丨 。 b4. 12． M表示 a與 b的和的平方， N表示 a與 b的平方的和，則當 a=7， b=5時， MN的值為 ( ) A． 28． B． 70． C． 42． D． 0． 111,25,8恰是下列三個方程的根 : 2 1 1 0 1 2 1 13 1 2 4x x x? ? ?? ? ?,3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3),1 1 2( 1 ) ( 1 )2 2 3z z z??? ? ? ?????,則 xzyx? 的值為 ( ) 。 。 C. 71220 。 . 14．圖 22是中國古代著名的“楊輝三角形”的示意圖．圖中填入的所有數的總和等于( ) A． 126． B． 127． C． 128． D． 129． 15．在自然數： 1， 2， 3， 4， 5，?中，前 15個質數之和的負倒數等于 ( ) 1328 。 1329 。 1337 。 1340 . 二、填空題（每題 1分，共 15分） 1．若 a＞ 0，在 a與 a之間恰有 1993個整數，則 a的取值范圍是 ______． 2．如果相鄰的兩個正整數的平方差等于 999