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[高考數學]高考理科數學模擬題-資料下載頁

2025-12-31 16:10本頁面

　　

【正文】 0ac??. 由 2 2 3 2a b a c c? ? ? ? ?，得 51ca? ? ?? ① . ???? 3 分曲線 ()fx在 xt? 處的切線斜率為 2a? ，得 ( ) 2f t a? ?? ，即 23 2 2 0at bt c a? ? ? ?. 由 24 12 ( 2 ) 0b a c a? ? ? ? ?，將 23b a c?? ? 代入，得 226 15 0c ac a? ? ?，即 2( ) 6 15 0ccaa? ? ? ?，解得： 3 2 6ca ?? 或 3 2 6ca ?? ② . ???? 5 分由①②聯立得 ca 的取值范圍是 ( 5,3 2 6]?? . ???? 6 分 (2)由 (1) 0f? ? 知：方程 ( ) 0fx? ? 即 23 2 0ax bx c? ? ?的一根為 1，設另一根為 0x ，則由韋達定理，得0 5 3 2 6( , ]3 3 3cx a ?? ? ?. 由 0a? ，令 2( ) 3 2 0f x ax bx c? ? ? ? ?，得 0 1xx??，則 0[ , ] [ ,1]m n x? ，從而 9 0 2 6 81 [ , )33m n x? ? ? ?，故 mn? 的最小值為 263 . ???? 10 分 (3)由 0a? 知，當 0 1xx??時 ( ) 0fx? ? ；當 0xx? 或 1x? 時 ( ) 0fx? ? . 而 ( ) 2 0f t a? ?? ? ，則 0 1xt?? ，于是08533tx? ?? ?，故 8( ) 03ft? ??，即曲線 ()fx在 83xt?? 處的切線斜率為正 . ???? 14 分【鏈接高考】本題是一道從三個“二次”即二次函數、二次方程和二次不等式的相互關系演變而來的代數推理題 . 三次函數與二次函數聯系緊密，因為將三次函數求導就轉化為二次函數 . 此題以導數的幾何意義為載體，巧妙地將導數與函數、方程與不等式等知識綜合交匯在一起，對邏輯推理能力的考查達到極致，確實是一道好題． 21. 解： (1) 1 2a? ， 2 22a ???， 232 4 2 2 4aa? ? ?? ? ? ? ?. ???? 1 分 ① 若數列 ??na 為等差數列，則 1 3 22a a a?? ，即 22 ( 2 2 4 ) 2 ( 2 2 )? ? ?? ? ? ? ?，得 2 10??? ? ? ，由 21 4 3 0? ? ? ? ? ?知方程無實根，故不存在實數 ? ，使得數列 ??na 為等差數列 . ???? 3 分 ② 若數列 ??na 為等比數列，則 21 3 2a a a?? ，即 222( 2 2 4) ( 2 2)? ? ?? ? ? ?，解得 1?? ，此時， 1 2nnnaa? ??，由累加法得： 1 2 11 2 1 3 2 1( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ( 2 )nnn n na a a a a a a a n??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，顯然，當 1n? 時也適合，故 *2 ( )nnan??N . 故存在實數 1?? ，使得數列 ??na 為等比數列，其通項公式為 *2 ( )nnan??N . ???? 6 分 (2)① 當 1?? 時， *2 ( )nnan??N ，故 12 (1 2 ) 2212 n nnS ??? ? ??. ???? 7 分 ② 當 2?? 時， 11 1 122 2 2 2n nnnn aaaa ?? ?? ? ? ? ?，即數列2nna??????是首項為 1，公差為 12 的等差數列，故 11 ( 1)22nna n? ? ? ?，即 1( 1) 2nnan ?? ? ? ，下用錯位相減法求 nS . 212 3 2 4 2 ( 1 ) 2 nnSn ?? ? ? ? ? ? ? ? ?， 2nS? 212 2 3 2 2 ( 1 ) 2nnnn?? ? ? ? ? ? ? ? ?，上面兩式相減，得 212 2 2 2 ( 1 ) 2 2n n nnS n n?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. ???? 10 分 ③ 當 1?? 且 2?? 時，下用待定系數法求通項 na . 令 11 2 ( 2 )nnnna x a x??? ? ? ? ? ?，則 1 ( 2 ) 2 nnna x??? ? ? ? ?，上式與 1 2nnnaa?? ??比較系數，得 ( 2) 1x???， 12x ?? ? . 故數列 22nna ?????????是首項為 222???? ，公比為 ? 的等比數列，從而 12 2 222n nna ? ??? ??? ? ???，即 1( 2 2 ) 22nnna ????? ? ?? ? . 因此， 2 1 2 3( 2 2 ) ( 1 ) ( 2 2 2 2 )2nnnS ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 10 1 1 2( 2 2) 2 2( 2 )1 1 222nnnn?? ??????? ? ? ? ???. 綜上所述， 2 ( 2)2( 2 )( 2)2nnnnnS?? ??? ???? ? ? ????. ???? 14 分【鏈接高考】本題是一道數列綜合題，情景熟悉，貌似簡單，入手也不難，但綜合程度之高令人嘆為觀止．無論是分類討論的思想，還是反證推理、求數列通項和數列求和都考查得淋漓盡致，累加法和待定系數法求數列的通項、錯位相減法和分組求和法求數列的前 n 項和，幾乎數列的所有知識和方法都熔于一爐．

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