[高考]20xx年高考數學試題分類匯編函數與導數-資料下載頁

　　

【正文】 上遞增； （ II）當 1 0, 1kk? ? ?即 時，函數 ??fx在區間 ? ?0,1 上遞增，所以 m in( ) (0)f x f k? ? ?； 當 0 1 1k? ? ? 即 12k??時，由（ I）知，函數 ??fx在區間 ? ?0, 1k? 上遞減， ( 1,1]k? 上遞增，所以 1m in( ) ( 1 ) kf x f k e ?? ? ? ?； 當 1 1, 2kk? ? ?即 時，函數 ??fx在區間 ? ?0,1 上遞減，所以 m in( ) (1) (1 )f x f k e? ? ?。 90.（福建理 18）某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量 y (單位：千克 )與銷售價格 x (單位：元 /千克 )滿足關系式 21 0 ( 6 )3ayxx? ? ?? ，其中 36x??， a 為常數，已知銷售價格為 5 元 /千克時，每日可售出該商品 11 千克． (Ⅰ ) 求 a 的值； (Ⅱ ) 若該商品的成品為 3 元 /千克 , 試確定銷售價格 x 的值 ,使商場每日銷售該商品所 獲得的利潤最大． 解： (Ⅰ )因為 5x? 時 11y? ，所以 10 11 22a a? ? ? ?； (Ⅱ )由 (Ⅰ )知該商品每日的銷售量 22 1 0 ( 6 )3yxx? ? ?? ，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤： 222( ) ( 3 ) [ 1 0 ( 6 ) ] 2 1 0 ( 3 ) ( 6 ) , 3 63f x x x x x xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ??； /2( ) 10 [ ( 6) 2( 3 ) ( 6) ] 30( 4) ( 6)f x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?，令 /( ) 0fx? 得 4x? 函數 ()fx在 (3,4) 上遞增，在 (4,6) 上遞減，所以當 4x? 時函數 ()fx取得最大值 (4) 42f ? 答：當銷售價格 4x? 時 ,商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，最大值為 42. 91.（福建文 22）已知 a、 b 為常數，且 a≠0，函數 f(x)＝－ ax＋ b＋ axlnx， f(e)＝ 2，（ e＝ …是自然對數的底數）。 （ Ⅰ ）求實數 b 的值； （ Ⅱ ）求函數 f(x)的單調區間； （ Ⅲ ）當 a＝ 1 時，是否同時存在實數 m 和 M（ m＜ M），使得對每一個 t∈ [m， M]，直線 y＝t 與曲線 y＝ f(x)（ x∈ [1e， e]）都有公共點？若存在，求出最小的實數 m 和最大的實數 M；若不存在，說明理由。 解：（ Ⅰ ） b＝ 2；（ Ⅱ ） a＞ 0 時單調遞增區間是（ 1，＋ ∞），單調遞減區間是（ 0， 1）， a＜ 0 時單調遞增區間是（ 0， 1），單調遞減區間是（ 1，＋ ∞）；（ Ⅲ ）存在 m， M； m 的最小值為 1，M 的最大值為 2。 92.（廣東理 21） 221221220 0 001, L : . , 4 0, ,40 , ( , ) m a x{| |, | |} .1( 1 ) ( , ) ( 0) y B . : A B Q ( , ) ,4||( , ) 。2x O y y x p q p q x xx px q p q x xA p p p L p qppq??? ? ?? ? ? ???在 平 面 直 角 坐 標 系 上 給 定 拋 物 線 實 數 滿 足 是 方 程的 兩 根 記過 點 作 的 切 線 交 軸 于 點 證 明 對 線 段 上 的 作 一 點有 （ 2）設 ( , )Mab 是定點，其中 ,ab滿足 2 40a b a? ＞ 0， ≠.過 ( , )Mab 作 L 的兩條切線 12,ll，切點分別為 221 1 2 211( , ) , 39。( , )44E p p E P P， 12,ll與 y 分別交于 ,39。 EF 上異 于兩端點的點集記為 X .證明： 112 ||( , ) ( , ) 2PM a b X P P a b?? ? ? ? ? 2m in m a x15( , ) 1 , ( 1 ) , ,44, ) .D x y y x y x p qpq? ? ???? ? ? ? ? ?????(3) 設 當 點 （ ） 取 遍 D 時 ， 求（ ） 的 最 小 值 ( 記 為 ) 和 最 大 值 ( 記 為； 解：（１） 00 01139。 | ( ) |22A B x p x pk y x p??? ? ?， 直線 AB 的方程為 20 0 011 ()42y p p x p? ? ?，即 2022124y p x p??， 2022124q p p p? ? ? ，方程 2 0x px q? ? ? 的判別式 2204 ( )p q p p? ? ? ? ?， 兩根 001 , 2 ||22p p p px ????或 02pp? ， 0 0pp??，00| | || | | ||22pppp? ? ? ?，又00 | | | |pp??， 0 0 0| | | | | | | |2 2 2p p pp? ? ? ? ?，得 0 0| || | | || | |2 2p ppp? ? ? ? ?， 0( , ) | |2ppq???． （２）由 2 40ab??知點 ( , )Mab 在拋物線 L 的下方， ① 當 0, 0ab??時，作圖可知，若 ( , )M a b X? ，則 120pp??，得 12| | | |pp? ； 若 12| | | |pp? ，顯然有點 ( , )M a b X? ； ( , )M a b X??12| | | |pp??． ② 當 0, 0ab??時，點 ( , )Mab 在第二象限， 作圖可知，若 ( , )M a b X? ，則 120pp?? ，且 12| | | |pp? ； 若 12| | | |pp? ，顯然有點 ( , )M a b X? ； ( , )M a b X??12| | | |pp??． 根據曲線的對稱性可知，當 0a? 時， ( , )M a b X? 12| | | |pp??， 綜上所述， ( , )M a b X? 12| | | |pp??（ *）； 由（１）知點 M 在直線 EF 上，方程 2 0x ax b? ? ? 的兩根 11,2 2px ? 或 12pa? ， 同理點 M 在直線 39。39。EF上，方程 2 0x ax b? ? ? 的兩根 21,2 2px ? 或 22pa? ， 若 1( , ) | |2pab? ? ，則 1||2p 不 比 1||2pa? 、 2||2p 、 2||2pa? 小， 12| | | |pp?? ，又 12| | | |pp? ( , )M a b X??， 1( , ) | |2pab?? ? ?( , )M a b X? ；又由（１）知， ( , )M a b X? 1( , ) | |2pab???； 1( , ) | |2pab?? ? ?( , )M a b X? ，綜合（ *）式，得證． （３）聯立 1yx??， 215( 1)44yx? ? ?得交點 (0, 1), (2,1)? ，可知 02p??， 過點 ( , )pq 作拋物線 L 的切線，設切點為 2022( , )4xx，則20001 14 2xq xxp? ??， 得 2022 4 0x px q? ? ?，解得 20 4x p p q? ? ?， 又 215( 1)44qp? ? ?，即 2 4 4 2p q p? ? ? ， 0 42x p p? ? ? ?，設 42pt??，20 1 22x t t? ? ? ? ? 215( 1)22t? ? ? ?， 0max max||2x? ? ，又 0 52x? ， max 54???； 1qp??， 20 4 4 | 2 | 2x p p p p p? ? ? ? ? ? ? ? ?， 0min min| | 12x?? ? ?． 93.（廣東文 19） 設 0?a ,討論函數 xaxaaxxf )1(2)1(ln)( 2 ????? 的單調性． 解：函數 f(x)的定義域為（ 0， +∞） 22121 2 1 22 ( 1 ) 2( 1 ) 139。 ( ) ,11 2 ( 1 ) 2( 1 ) 1 0 1 2( 1 ) ( )310 , 39。 ( ) 23( 1 ) ( 3 1 ) ( 1 ) ( 3 1 )110 , ,2 2 ( 1 ) 2 2 ( 1 )0 39。 ( ) 0 , ( ) ( 0 , ) ( , )a a x a xfxxa a a x a x a aa f xa a a axxa a a a a ax x x x f x f x x x? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?當 時 ， 方 程 的 判 別 式① 當 0 時 ， 有 個 零 點且 當 或 時 ， 在 與 內 為 增 函 數1 2 1 21239。 ( ) 0 , ( ) , )11 0 , 39。 ( ) 0 , ( ) ( 0 , )311 39。 ( ) 0( 0 ) , ( ) ( 0 , )( 1 ) ( 3 1 ) ( 1 ) ( 3 1 )111 0 , 0 , 0 , 39。 ( )2 2 ( 1 ) 2 2 ( 1 )x x x f x f x x xa f x f xa f x x f xxa a a aa x x f x xa a a a a a? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???；當 時 ， 在 ( 內 為 減 函 數當 時 ， 在 內 為 增 函 數 ；當 時 ， 在 內 為 增 函 數 ；當 時 ， 所 以 在 定 義 域 內 有 唯 一 零 點②③④11 1 1 1。0 39。 ( ) 0 , ( ) ( 0 , ) 39。 ( ) 0 , ( ) ( , )x x f x f x x x x f x f x x? ? ? ? ? ? ?且 當 時 ， 在 內 為 增 函 數 ； 當 時 ， 在 內 為 減 函 數 ；綜上所述， f(x)的單調區間如下表： 10 3a?? 1 13 a?? 1a? 1(0, )x 12( , )xx 2( , )x ?? (0, )?? 1(0, )x 1( , )x ?? （其中 12( 1 )( 3 1 ) ( 1 )( 3 1 )11 ,2 2 ( 1 ) 2 2 ( 1 )a a a axxa a a a a a? ? ? ?? ? ? ???） 94.（湖北理 17）提高過江大橋的車輛通行能力可改善 整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度 v （單位：千米 /小時）是車流密度 x （單位：輛 /千米）的函數．當橋上的車流密度達到 200 輛 /千米時，造成堵塞，此時車流速度為 0；當車流密度不超過 20 輛 /千米時，車流速度為 60 千米 /小時．研究表明：當 20220 ?? x 時，車流速度 v 是車流密度 x 的一次函數． （ Ⅰ ）當 2022 ??x 時，求函數 ??xv 的表達式； （ Ⅱ ）當車流密度 x 為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛 /小時） ? ? ? ?xvxxf ?? 可以達到最大，并求出最大值．（精確到 1 輛 /小時） 本題主要考查函數、最值等基礎知識，同時考查運用數學 知識解決實際問題的能力 . 解析：（ Ⅰ ）由題意：當 200 ??x 時， ? ? 60?xv ；當 20220 ?? x 時，設 ? ? baxxv ?? ， 顯然 ? ? baxxv ?? 在 ? ?200,20 是減函數，由已知得 ??? ?? ?? 6020 0200 ba ba，解得 ??????????320031ba 故函數 ??xv 的表達式為 ??xv =? ???????????.20220,20221,200,60xxx （ Ⅱ ）依題意并由（ Ⅰ ）可得 ???xf? ???????????.20220,20221,200,60xxxxx 當 200 ??x 時， ??xf 為增函數，故當 20?x 時，其最大值為 12022060 ?? ； 當 20220 ?? x 時， ? ? ? ?? ? 31000022022120221 2 ??????? ????? xxxxxf， 當且僅當 xx ??200 ，即 100?x 時，等號成立． 所以，當 100?x 時， ??xf 在區間 ? ?200,20 上取得最大值 310000 ． 綜上，當 100?x 時， ??xf 在區間 ? ?200,0 上取得最大值 33333100