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“數學周報杯”全國初中數學競賽試題參考答案-資料下載頁

2025-12-31 17:05本頁面

　　

【正文】 p m m? ? ? ?的所有素數 p 和正整數 m. ．解：由題設得 ( 2 1 ) ( 4) ( 2)p p m m? ? ? ?，所以 ( 4)( 2)p m m??，由于 p 是素數，故 ( 4)pm? ，或 ( 2)pm? . …… （ 5 分）（ 1）若 ( 4)pm? ，令 4m kp?? ， k 是正整數，于是 2m kp?? ， 2 2 23 ( 2 1 ) ( 4) ( 2)p p p m m k p? ? ? ? ? ?，故 2 3k? ，從而 1k? . 所以 42 2 1mp???? ? ? ?? ，，解得 5??? ?? ， ………… （ 10 分）（ 2）若 ( 2)pm? ，令 2m kp?? ， k 是正整數 . 當 5p? 時，有 4 6 ( 1 )m k p k p p p k? ? ? ? ? ? ?， 223 ( 2 1 ) ( 4 ) ( 2 ) ( 1 )p p p m m k k p? ? ? ? ? ? ?，故 ( 1) 3kk??，從而 1k? ，或 2. 由于 ( 2 1 ) ( 4) ( 2)p p m m? ? ? ?是奇數，所以 2k? ，從而 1k? . 于是 4 2 12mp? ? ??? ??? ，這不可能 . 當 5p? 時， 2 2 63mm??， 9m? ；當 3p? ， 2 2 29mm??，無正整數解；當2p? 時， 2 2 18mm??，無正整數解 . 綜上所述，所求素數 p=5，正整數 m=9. ………… （ 20 分） 8 14．從 1， 2，…， 2022 這 2022 個正整數中，最多可以取出多少個數，使得所取出的數中任意三個數之和都能被 33 整除？解：首先，如下 61 個數： 11， 11 33? ， 11 2 33?? ，…， 11 60 33??（即 1991）滿足題設條件 . ………… （ 5 分）另一方面，設 12 na a a? ? ? 是從 1， 2，…， 2022 中取出的滿足題設條件的數，對于這 n 個數中的任意 4 個數 i j k ma a a a，，，，因為 33 ( )i k ma a a??， 33 ( )j k ma a a??，所以 33 ( )jiaa?. 因此，所取的數中任意兩數之差都是 33 的倍數 . ………… （ 10 分）設 1 33iia a d?? ， i=1， 2， 3， … ， n. 由 1 2 333 ( )a a a??，得 1 2 333 (3 33 33 )a d d??，所以 1333a ， 111a ，即 1a ≥ 11. ………… （ 15 分） 133nn aad ?? ≤ 2022 11 6133? ? ，故 nd ≤ 60. 所以， n≤ 61. 綜上所述， n 的最大值為 61. ………… （ 20 分）

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