高一數(shù)學(xué)立體幾何基礎(chǔ)題題庫-資料下載頁

　　

【正文】 432. 已知球面上A、B、C三點的截面和球心的距離都是球半徑的一半，且AB＝BC＝CA＝2，則球表面積是( ) 解析： 如圖，過ABC三點的截面圓的圓心是O′，球心是O，連結(jié)AO′、OO′，則OO′⊥ AO′.ΔABC中，AB＝BC＝CA＝2，故ΔABC為正三角形.∴AO′＝2＝設(shè)球半徑為R，則OA＝R，OO′＝在RtΔOAO′中，OA2＝O′O2+O′A2，即R2＝+()2∴R＝∴球面面積為4πR2＝π∴應(yīng)選A.說明 因為R＝OA＞O′A＞AB＝1，所以球面積S＝4πR2＞.433. 長方體的一個頂點上的三條棱分別是5，且它的八個頂點都在同一球面上，這個球的表面積是( ) 解析： 正方體的對角線為l，球的半徑為R，則l＝2R.得：l2＝4R2＝32+42+52＝50從而 S球＝4πR2＝50π∴應(yīng)選C.434. 在球面上有四個點P、A、B、PB、PC兩兩互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a,那么這個球的表面積是 .解析：由已知可得PA、PB、PC實際上就是球內(nèi)接正方體中交于一點的三條棱，正方體的對角線長就是球的直徑，連結(jié)過點C的一條對角線CD，則CD過球心O，對角線CD＝a.∴S球表面積＝4π(a)2＝3πa2.435. 圓柱形容器的內(nèi)壁底半徑為5cm，兩個直徑為5cm的玻璃小球都浸沒于容器的水中，若取出這兩個小球，則容器內(nèi)的水面將下降 cm.解析：球的體積等于它在容器中排開水的體積.解： 設(shè)取出小球后，容器水平面將下降hcm，兩小球體積為V球＝2π52h,V1＝ V球即 25πh＝π ∴h＝cm.∴應(yīng)填.436. 空間四邊形ABCD的四條邊相等，那么它的兩條對角線AC和BD的關(guān)系是（　）．　　A．相交且垂直 B．相交但不垂直　　C．不相交也不垂直 D．不相交但垂直解析：D．取BD中點O，則BD⊥AO，BD⊥CO，故BD⊥平面ACO，因此BD⊥AC．437. 已知a、b是異面直線，那么經(jīng)過b的所在平面中（　）．　　A．只有一個平面與a平行 B．有無數(shù)個平面與a平行　　C．只有一個平面與a垂直 D．有無數(shù)個平面與a垂直解析：A．過b上任一點P作直線，由和b確定的平面a 與a平行，這個平面是過b且平行于a的唯一一個平面．故排除B．當(dāng)a與b不垂直時，假設(shè)存在平面b ，使bb ，且a⊥b ，則a⊥b，這與a、b不垂直矛盾，所以當(dāng)a、b不垂直時，不存在經(jīng)過b且與a垂直的平面，當(dāng)a、b垂直時，過b且與a垂直的平面是唯一的，設(shè)a、b的公垂線為c，則由c和b所確定的平面與a垂直，且唯一．438. 若直線l與平面a 所成角為，直線a在平面a 內(nèi)，且與直線l異面，則直線l與直線a所成的角的取值范圍是（　）．　　A． B．　　C． 　D．解析：C．因為直線l是平面的斜線，斜線與平面所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角，故a與l所成的角大于或等于；又因為異面直線所成的角不大于，故選C．439. 直線a、b均在平面a 外，若a、b在平面a 上的射影是兩條相交直線，則a和b的位置關(guān)系是（　）．　　A．異面直線 B．相交直線 C．平行直線 D．相交或異面直線解析：D440. ABCD是平面a 內(nèi)的一個四邊形，P是平面a 外的一點，則△PAB、△PBC、△PCD、△PDA中是直角三角形的最多有（　）．　　A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解析：D．作矩形ABCD，PA⊥平面AC，則所有的三角形都是直角三角形441. 已知直線PG⊥平面a 于G，直線EFa ，且PF⊥EF于F，那么線段PE、PF、PG的關(guān)系是（　）．　　A．PE＞PG＞PF B．PG＞PF＞PE　　C．PE＞PF＞PG D．PF＞PE＞PG解析：C．如圖答917．PG⊥a ，EFa ，PF⊥EF，則GF⊥EF．在Rt△PGF中，PF為斜邊，PG為直角邊，PF＞PG．在Rt△PFE中，PF為直角邊，PE為斜邊，PE＞PF，所以有PE＞PF＞PG．442. 下列命題中正確的是（　）．　　A．若a是平面a 的斜線，直線b垂直于a在平面a 內(nèi)的射影為，則a⊥b　　B．若a是平面a 的斜線，平面b 內(nèi)的直線b垂直于a在平面a 內(nèi)的射影為，則a ⊥b　　C．若a是平面a 的斜線，直線b平行于平面a ，且b垂直于a在平面a 內(nèi)的射影，則a⊥b　　D．若a是平面a 的斜線，b是平面a 內(nèi)的直線，且b垂直于a在另一個平面b 內(nèi)的射影，則a⊥b解析：C．如圖答918，直線b垂直于a在平面a 內(nèi)的射影，但不能得出a⊥b的結(jié)論．排除A．令b 是直線a與其在a 內(nèi)的射影確定的平面，在b 內(nèi)取垂直于的直線為b，不能得出a⊥b的結(jié)論．排除B．同理排除D．如圖答919，在a 內(nèi)任取點P，∵ ，則過b與P確定平面g ，設(shè)，因為b∥a ，則．∵ ，∴ ．∴ ，∴ b⊥a．于是C正確．443. 設(shè)正方體的棱長為1，則　　（1）A到的距離等于________；　　（2）A到的距離等于________；　　（3）A到平面的距離等于________；　（4）AB到平面的距離等于________．解析：1）連接，AC，則，取的中點E，連結(jié)AE，則．∴ AE為點A到直線的距離，在Rt△ACE中，， ∴ ，∴ ．即A到、C的距離等于．（2）連結(jié)．∵ AB⊥平面，∴ ．在Rt△中，AB=1，，設(shè)A到的距離為h，則．即，∴ ，即點A到的距離為．　　（3）連結(jié)交于F，則．∵ CD⊥平面，且AF平面，∴ CD⊥AF．∵ CD∩AD=D，∴ AF⊥平面．∴ AF為點A到平面的距離．∵ ，∴ ．　　（4）∵ AB∥CD，∴ AB∥平面，∴ AB到平面的距離等于A點到平面的距離，等于．444. 已知正方體．則　　（1）與平面ABCD所成的角等于________；　　（2）與平面ABCD所成的角的正切值等于________；　　（3）與平面所成的角等于________ ；　　（4）與平面所成的角等于________；（5）與平面所成的角等于________.解析：（1）∵ ⊥平面ABCD，∴ 為與平面ABCD所成的角，=45176。．　　（2）∵ ⊥平面ABCD，∴ 為與平面ABCD所成的角．設(shè)，則，∴ 　　（3）∵ 平面，∴ ∥平面，∴ 與平面所成的角為0176。．　　（4）∵ ⊥平面，∴ 與平面所成的角為90176。．　　（5）連結(jié)AC，交AD于H．連結(jié)，∵ ⊥平面ABCD，CH平面ABCD，∴ ，又∵ CH⊥BD，∴ CH⊥平面．∴ 為在平面內(nèi)的射影．∴ 為與平面所成的角．設(shè)正方體棱長為1，則，∴ ，即與平面所成的角為30176。．445. 如圖929，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分別是AB、PC的中點．求證：MN⊥AB．圖929解析：連結(jié)AC，取AC中點O，連結(jié)OM，ON．由OM∥BC，得OM⊥AB．又NO∥PA，且PA⊥AB，故NO⊥AB．由此可得AB⊥平面OMN．因此MN⊥AB．446. 如圖930，直線a、b是異面直線，它們所成角為30176。，為a、b的公垂線段，．另有B在直線a上，且BA=2cm，求點B到直線b的距離．解析：如圖答920，過作，則與b確定平面a ．作于C，在平面a 內(nèi)作CD⊥b于D，連結(jié)BD．∵ ∴ ． ∵ ，∴ ．∵ ，∴ BC⊥a ．∵ CD⊥b，∴ BD⊥b（三垂線定理），即BD為B點到b的距離．∵ ，∴ 為異面直線a與b所成的角，∴ ．∵ ，∴ CD=1．在Rt△BCD中，CD=1，∠BCD=90176。，∴ ，∴ ．447. 如圖931，SA、SB、SC三條直線兩兩垂直，點H是S在平面ABC上的射影，求證：H是△ABC的垂心．解析：∵ SC⊥SA，SC⊥SB，且SA∩SB=S，∴ SC⊥平面SAB，∴ AB⊥SC．∵ H是S在平面ABC上的射影，∴ SH⊥平面ABC．連結(jié)CH，CH為SC在平面ABC上的射影，∵ AB⊥SC，由三垂線定理的逆定理可知CH⊥AB，即CH為AB的垂線．同理AH⊥BC，即AH為BC邊的垂線．H為△ABC兩條垂線的交點，∴ H為△ABC垂心．448. 如圖932，△ABD和△ACD都是以D為直角頂點的直角三角形，且AD=BD=CD，∠BAC=60176。．求證：圖932　　（1）BD⊥平面ADC；　　（2）若H是△ABC的垂心，則H為D在平面ABC內(nèi)的射影．解析：（1）設(shè)AD=BD=CD=a，則．∵ ∠BAC=60176。，∴ ．由勾股定理可知，∠BDC=90176。．即BD⊥DC，又∵ BD⊥AD，AD∩DC=D，∴ BD⊥平面ADC．　　（2）如圖答921，要證H是D在平面ABC上的射影，只需證DH⊥平面ABD．連結(jié)HA、HB、HC．∵ H是△ABC的垂心，∴ CH⊥AB．∵ CD⊥DA，CD⊥BD，∴ CD⊥平面ABD，∴ CD⊥AB．∵ CH∩CD=C，∴ AB⊥平面DCH． ∵ DH平面DCH，∴ AB⊥DH，即DH⊥AB，同理DH⊥BC．∵ AB∩BC=B，∴ DH⊥平面ABC．449. PA、PB、PC是從點P出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角為60176。，求直線PC與平面PAB所成的角的余弦值．解析：如圖答922，在PC上任取一點D，作DH⊥平面PAB于H，則∠DPH為PC與平面PAB所成的角．作HE⊥PA于E，HF⊥PB于F，連結(jié)PH，DE，DF．∵ EH、FH分別為DE、DF在平面PAB內(nèi)的射影，由三垂線定理可得DE⊥PA．DF⊥PB．∵ ∠DPE=∠DPF，∴ △DPE≌△DPF．∴ PE=PF．∴ Rt△HPE≌Rt△HPF，∴ HE=HF，∴ PH是∠APB的平分線．設(shè)EH=a，則PH=2EH=2a，．在Rt△PDE中，∠DPE=60176。，DE⊥PA，∴ ．在Rt△DPH中，DH⊥HP，PH=2a，∴ 450. 四面體對棱長分別相等，分別是a,b,.解析： 把四面體“嵌入”棱長為x,y,z的長方體(如圖).其充分條件是有實數(shù)解如果關(guān)于x,y,z的方程組有實數(shù)解，則四面體體積V＝xyz4(xy)z＝xyz＝說明 對棱相等的四面體各面是全等的銳角三角形，本題采用了體積分割法，轉(zhuǎn)化法求體積. 34