[理學]概率4修改-資料下載頁

　　

【正文】 相關系數 定義 若 D (X ) 0, D (Y ) 0 , 存在，則稱 Co v ( , )XY為 X 與 Y 的 相關系數。 記為 .XY?若 ,0?XY? 稱 X ,Y 不相關 . 相關系數的性質 性質 1 ? ? ? ? ? ?? ?? ? 22Cov ,X Y E X E X Y E Y? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?22E X E X E Y E Y? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?D X D Y?因此 )()(|),(C o v| YDXDYX ?Co v ( , ) 1( ) ( )XYXYD X D Y? ??注 ),c o v ( ??? YXXY?證 由柯西 — 許瓦茲不等式 可得 ? ?? ?2 22( ) ( )E X Y E X E Y?? ???C o v ( , ) 0 , 0 .XYXY ???性質 3 若 X 與 Y 相互獨立，則 性質 4 的充分必要條件是：存在常數 a, b,使得 1|| ?XY?{ } 1 .P Y a X b? ? ?0?XY? X , Y 不相關 o v ( , ) 0C X Y ?)()()( YEXEXYE ?)()()( YDXDYXD ???X ,Y 相互獨立 X , Y 不相關 等價命題： 注 1|| ?XY?表明 X與 Y之間以概率 1存在線性關系。 ||XY? 較大表明 X與 Y之間線性相關程度較好。 ||XY? 較小表明 X與 Y之間線性相關程度較差。 0XY? ? 表明 X與 Y不相關。 不相關是就 線性關系 而言，相互獨立時就一般關系而言的。 例 設二維隨機變量 ( X, Y )的概率分布為 X Y － 1 0 1 1 1 / 8 1 / 8 1 / 8 0 1 / 8 0 1 / 8 1 1 / 8 1 / 8 1 / 8 證明 X 與 Y 不相關，但 X 與 Y 不相互獨立． 證 ( X, Y )關于 X 和 Y 的邊緣分布為 X － 1 0 1 P 3 / 8 2 / 8 3 / 8 Y － 1 0 1 P 3 / 8 2 / 8 3 / 8 3 2 3( ) 1 0 1 0 ( )8 8 8E X E Y? ? ? ? ? ? ? ? ?,( ) 0i j ijijE XY x y p???于是有 C o v ( , ) ( ) ( ) ( ) 0X Y E X Y E X E Y? ? ?因此 ，即 X 與 Y 不相關． 0XY? ?由于 1{ 1 , 1 } ,8P X Y? ? ? ? ? 3 3 9{ 1 } { 1 } ,8 8 6 4P X P Y? ? ? ? ? ? ?所以 X 與 Y 不相互獨立． 例 設 ( X,Y ) 的聯合概率密度為 ????? ???,0,1,1),( 22其它yxyxf?驗證 X 與 Y 不相關，但不相互獨立． 解 1: 22 ?? yxD( ) ( , ) d d ( , ) d dDE X x f x y x y x f x y x y? ? ? ?? ? ? ???? ? ??21 20011 d d d c os d 0 ,Dx x y r r? ????? ? ??? ? ?同理 ( ) 0 , ( ) 0 .E Y E X Y??于是 C o v ( , ) ( ) ( ) ( ) 0X Y E X Y E X E Y? ? ?因此 ，即 X 與 Y 不相關． 0XY? ?22 1 , | | 1 ,( ) ( , ) d0 , ,Xxxf x f x y y ?????? ?????????其 它221 , | | 1 ,( ) ( , ) d0 , .Yyyf y f x y x ?????? ?????????其 它例 設 ( X,Y ) 的聯合概率密度為 ????? ???,0,1,1),( 22其它yxyxf?驗證 X 與 Y 不相關，但不相互獨立． 解 22241 1 , | | 1 , | | 1 ,( ) ( )0 , ,XYx y x yf x f x ?? ? ? ? ?????? 其 它( , ) ( ) ( ) ,XYf x y f x f y?所以 X 與 Y 不相互獨立 . 例 設 ( X ,Y ) ~ N ( ?1,?12。?2,?22 。 ?), 求 ?XY 12o v ( , ) ( ) ( ) ( , )C X Y x y f x y d x d y??? ? ? ?? ? ? ?? ? ???d u d teutttu 22221)1(2)(????????????? ? ??22112 ?????s t u???令d s d testtts 22221)()1(21 ????????????? ???22112 ?????sx ??1 1??ty ??2 2??解 dtetduetu 222212)1(222112???????????? ??? ??? ??? ???21??? ?XY則 X ,Y 相互獨立 X ,Y 不相關 若 ( X ,Y ) ~ N ( ?1, ?12, ?2, ?22, ?), 注 167。 4 矩 原點矩和中心矩 定義 設 X與 Y是兩個隨機變量 ,稱 E(Xk)為 X的 k階原點矩 。 稱 E{[X－ E( X )] k }為 X的 k 階中心矩 ；稱 E( X k Y l ) 為 X與 Y 的 k + l 階混合原點矩 ；稱 E{[X－ E( X )] k [Y－ E( Y )] l}為 X與 Y 的 k + l 階混合中心矩 ． 注 E( X )是 X的 1階原點矩。 D( X )是 X的 2階中心矩。 Co v ( , )XY是 X與 Y的 2階混合中心矩。 協方差矩陣 定義 設二維隨機變量（ X1, X2）關于 X1和 X2的二階中 心矩和二階混和中心矩 ? ? ? ?? ? , , 1 , 2ij i i j jc E X E X X E X i j????? ? ? ??? ??都存在，則稱矩陣 11 1221 22ccCcc???????為二維隨機變量 （ X1, X2）的 協方差矩陣 。 n維正態分布 性質 1 n維隨機變量 服從 n維正態分布的充分必要條件是 ? ?12, , , nX X X12, , , nX X X的任意線性組合 1 1 2 2 nnk X k X k X? ? ?都服從一維正態分布，其中 為任意常數。 12, , , nk k k性質 2 如果 服從 n 維正態分布，設 ? ?12, , , nX X X12, , , mY Y Y是 的線性函數，則 ? ?1 , 2 , ,iX i n? ? ?12, , , mY Y Y也服從多維正態分布。 性質 3 設 服從 n 維正態分布，則 ? ?12, , , nX X X12, , , nX X X相互獨立 12, , , nX X X兩兩不相關。