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[理學]線性代數第一講-資料下載頁

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【正文】 3232221212 ???? ??0 ?1 ?1 ?2 ?2 ? ?k根據方法 1 例 4 計算排列的逆序數，并討論它們的奇偶性 . 上頁下頁結束返回首頁 54 第一式是顯然的，下面只證第二式 . 112121n,nnnaaa???????＝ ( 1)t a1na2,n1 an1 = ( 1)t ?1 ?2 ?n , t = 0 + 1 + 2 + + (n 1) = n (n 1)/2 . 其中 t 為排列 n(n 1) 2 1 的逆序數，故證畢證明上頁下頁結束返回首頁 55 例 6 證明下三角行列式 .221121222111nnnnnnaaaaaaaaa??????由于當 j i 時 ,aij = 0,故 D 中可能不為 iipa0的元素 ,其下標應有 pi ≤ i , p1 ≤ 1,p2 ≤ 2, ,pn ≤ n . 證明即上頁下頁結束返回首頁 56 在所有排列 p1p2 pn 中，能滿足上述關系的排列證畢 D ＝ a11a22 ann . 所以 (1)t =(1)0 = 1 ，的項只有一項 (1)t a11a22 ann. 此項的符號只有一個自然排列 12 n，所以 D 中可能不為０上頁下頁結束返回首頁 57 例 5和例 6的結論很重要，它們可以當時候總是想方設法把它化為三角形行列式．作公式用，以后我們在計算高階行列式時，很多注意上頁下頁結束返回首頁 58 由行列式的定義，知第一行有 2 個元素含有 x ，即為 ,a 31411 ??,時225 44332211 ?????? ax,ax,ax,a當此時它們的乘積等于 .x320,)1( 4321 43214 ppppt aaaaD ? ??乘積的次數才最高，且為４．顯然，只有當都含有 x 時，其 4321 4321 , pppp aaaa解上頁下頁結束返回首頁 59 故所求的最高冪的系數為 ,4253 43312214 時當 xax,ax,ax,a ?????其乘積等于 ,120?列標排列為 ,120 4x?逆序數為 .4,4213D4 是 4 次多項式 . 解畢上頁下頁結束返回首頁 60 例 8 設 nnnnnnaaaaaaaaaD??????????2122221112111?nnnnnnnnnnabababaabababaaD??????????221122222111112112??????證明 .21 DD ?證由行列式定義有上頁下頁結束返回首頁 61 ? ?? ?nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD ?????????????2121212121222211121111? ???nnnnnnnnnnabababaabababaaD??????????221122222111112112??????? ? ? ? ? ?? ????????nnnnppppnppnppppppt baaa??? ?21212121 ()2()1211(i,j)元素 =？上頁下頁結束返回首頁 62 由于 ,2121 nppp n ??????? ?? 所以 ? ? ? ? .1 2211212121 DaaaDnnnnpppppppppt ??? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?nnnn pppnnpppppppppt baaaD ???????? ?? ???? ? 21212121 21212 1? ? ? ?nnnnpppppppppt aaa ???212121211? ??故 ? ? ? ? ? ? ? ?nnnn pppnnpppppppppt baaa ???????? ?? ???? ? 21212121 21211證畢上頁下頁結束返回首頁 63 補例解線性方程組 ?????????????????.0,132,22321321321xxxxxxxxx解由于方程組的系數行列式 111312121?????D? ?111 ???? ? ? ? ? ? ?132 ??????121 ??? ? ?111 ???? ? ? ? ?122 ????? ? ? 131 ????5?? ,0?上頁下頁結束返回首頁 64 同理可得 1103111221?????D,5??1013121212?????D,10??0111122213????D,5??故方程組的解為 : ,111 ?? DDx ,222 ?? DDx .133 ?? D

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