[理學]平面曲線的弧長-資料下載頁

　　

【正文】 ? ?ba , 分成許多部分區間，則 U 相應地分成許多部分量，而 U 等于所有部分量之和；（ 3 ）部分量 iU? 的近似值可表示為 ii xf ?)( ? ；就可以考慮用定積分來表達這個量 U . 所求量的特點 1) 根據問題的具體情況，選取一個變量例如 x 為積分變量，并確定它的變化區間 ],[ ba ；2 ）設想把區間 ],[ ba 分成 n 個小區間，取其中任一小區間并記為 ],[ dxxx ? ，求出相應于這小區間的部分量 U? 的近似值．如果 U? 能近似地表示為 ],[ ba 上的一個連續函數在 x 處的值 )( xf 與dx 的乘積，就把 dxxf )( 稱為量 U 的元素且記作 dU ，即 dxxfdU )(? ； 3 ）以所求量 U 的元素 dxxf )( 為被積表達式，在區間 ],[ ba 上作定積分，得 ?? badxxfU )(， 即為所求量 U ． 解題步驟 定積分應用的常用公式 (1) 平面圖形的面積 xyo)( xfy ??? ba dxxfA )(xyo )(1 xfy ?)(2 xfy ?? ?? ba dxxfxfA )]()([ 12A A直角坐標情形 a b a b如果曲邊梯形的曲邊為參數方程 ?????)()(tytxyj曲邊梯形的面積 ? ?? 21)()(tt dtttA jy（其中 1t 和 2t 對應曲線起點與終點的參數值）在 [ 1t , 2t ] （或 [ 2t , 1t ] ）上 )( tx j? 具有連續導數，)( ty y? 連續 .參數方程所表示的函數 ?? ?? ??j dA 2)]([21xo??d?)(?j?r ??xo)(2 ?j?r)(1 ?j?r? ?? ?? ??j?j dA )]()([21 2122極坐標情形 (2) 體積 dxx?x y o dxxfV ba 2)]([?? ?dyyV dc 2)]([j???xyo)( yx j?cdxo?? ba dxxAV )(x dxx?a b平行截面面積為已知的立體的體積 )(xA(3) 平面曲線的弧長 xoya bx dxx??dy弧長 dxys ba? ???21A．曲線弧為 ?????)()(tytxyj)( ?? ?? t其中 )(),( tt yj 在 ],[ ?? 上具有連續導數弧長 dttts ? ???? ?? yj )()( 22)( xfy ?B．曲線弧為 C．曲線弧為 )( ??? ??)(?rr ?弧長 ????? drrs ? ??? )()( 22(4) 旋轉體的側面積 x dxx? x y o )( xfy ?bxaxfy ???? ,0)(? ???? ba dxxfxfS )(1)(2 2側(5) 細棒的質量 o x dxx ?)(x?xl????lldxxdmm00)(?(6) 轉動慣量 a b xyx dxx ?o????baba yydxxxdII)(2 ?))(( 為線密度x?(7) 變力所作的功 )(xFo a bx dxx ? x? ???????babadxxFdWW)((8) 水壓力 xyoabxdxx ?)(xf????babadxxxfdPP)(?)( 為比重?(9) 引力 xyx dxx ?oAl? l? ?? ?? ???llll yyxadxGadFF2322 )(?.0?xF )( 為引力系數G(10) 函數的平均值 ??? ba dxxfaby )(1(11) 均方根 ??? badxxfaby )(1 2二、典型例題 例 1 .3。2。1)0(s i nc o s00033體積及表面積體它繞軸旋轉而成的旋轉它的弧長它所圍成的面積求星形線已知??????ataytaxa? aoyx解 .1 0 A設面積為 由對稱性 ,有 ?? a y d xA 04? ? ??? 0223 )s in(c os3s in4 dtttata???? 20 642 ]s in[ s in12 dttta .83 2a??.2 0 L設弧長為 由對稱性 ,有 ?????? 2022 )()(4 dtyxL ??? 20 s inc os34 ?.,3 0 VS 體積為設旋轉體的表面積為由對稱性 ,有 ? ???? a x dxyyS 0 2122????? 20 3 s inc o s3s in4 tdttata .512 2a??? ?? a dxyV 0 22 ? ? ???? 02262 )s i n(c os3s i n2 dtttata????? 20 273 )s in1(s in6 dttta .10532 3a??例 2 ?,)2(。)0()1(.至少需作功多少若再將滿池水全部抽出面上升的速度時水求在池中水深內注水的半球形水池的流量往半徑為以每秒RhhRa??o xyRh解 如圖所示建立坐標系 . ).0()( 222 RyRRyx ?????半圓的方程為于是對半圓上任一點 ,有 ).0(2)( 2222 RyyRyRyRx ???????時水池內水的體積為為的球缺的體積即水深故半球內高為的立體軸旋轉而成圓繞因已知半球可看作此半hhy,)1(dyyRydyxhV hh ?? ????? 0 20 2 )2()(,th 時已注水的時間為又設水深 ,)( athV ?則有atdyyRyh ????0 2 )2(即得求導兩邊對 ,t ,)2( 2 adtdhhRh ???故所求速度為 .)2( 2hRh adtdh ???.)2(所需的功水全部提升到池沿高度需的最小功即將池內將滿池的水全部抽出所的功約為所需降到抽水時使水位從 dyyRyy ??? )0()1(),(2 水的比重????? yRdyx,2 22 yRyx ??又.))(2( 2 dyyRyRydW ?????即功元素故將滿池水全部提升到池沿高度所需功為 ? ????? R dyyRyRyW 0 2 ))(2(? ???? R dyyRyyR0 322 )32(.4 4R??例 3: 如圖 , 平面經過半徑為 R的圓柱體的底圓中心 , 并與底面交成角 ? , 計算這平面截圓柱體所得立體的體積 . 解 : 取 x為積分變量 , 變化區間為 [?R, R], 在 [?R, R] 上任取一點 x, 過 x作垂直于 x軸的平面截立體 , 截面的面積 ?? t a n)(21t a n21)( 22 ?????? xRyyxA???R R o x y y x 222 Ryx ????? R R dxxAV )(?? ???? R R dxxR ?t a n)(21 22 RRxxR??????? ??3t a n21 32??t an32 3 ?? R.32:4 23的長度的一段弧到從上相應于計算曲線例 baxxy ?解 : 21xy ??dxxdxyds?????11 2弧長元素???????????????????? ?232323)1()1(32)1(321 abxdxxsbaba弧長o y x b a 2332 xy ?,)( kxxf ??? 101 )( dxxfw ,2k?.)(0?? hh dxxfw例 5 用鐵錘把釘子釘入木板，設木板對鐵釘的阻力與鐵釘進入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時將鐵釘擊入 1厘米，若每次錘擊所作的功相等，問第 次錘擊時又將鐵釘擊入多少？ n設 次擊入的總深度為 厘米 hn次錘擊所作的總功為 n設木板對鐵釘的阻力為 第一次錘擊時所作的功為 解 ?? hh kxdxw 0 ,22kh?1nww h ? ? 22kh,2kn ??,nh ?.1?? nn次擊入的總深度為 n第 次擊入的深度為 n依題意知，每次錘擊所作的功相等． 例 6 有一長度為 l 、線密度為 ? 的均勻細棒， 在其中垂線上距棒 a 單位處有一質量為 m 的質點 M ，計算該棒對質點 M 的引力． 2l2l?? xyo Ma取 y 為積分變量取任一小區間 ],[ dyyy ?,2,2 ???????? lly,dy?rydyy?小段的質量為 將典型小段近似看成質點 建立坐標系如圖 解 小段與質點的距離為 ,22 yar ??,22 ya dymkF ??? ?,)( 2322 yadyamkdFx ????2322 )( 22 yadyamkF llx ??? ???,)4(22122 laalkm??? ?.0?yF由對稱性知，引力在鉛直方向分力為 水平方向的分力元素 引力 例 7 .,4,20,3050,的靜壓力求閘門一側所受的水米頂部高出水面如果閘門米高為米米和分別為梯形的上下底如圖所示一等腰梯形閘門解 xyo164?xdxx?AB如圖建立坐標系 , 的方程為則梯形的腰 AB.2321 ??? xy此閘門一側受到靜水壓力為 ? ??? 160 )2321(2 dxxgxP ?16023)233( xxg ??? ?)2 5 6234 0 9 631( ????? g?g? 2 2?).( 7 牛??例 8 求以半徑為 R 的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為 h 的正劈錐體的體積 . ,222 Ryx ?? xyo Rx垂直于 x 軸的截面為等腰三角形22)( xRhyhxA ????dxxRhV R R?? ?? 2 hR??取坐標系如圖 解 底圓方程為 截面面積 立體體積