[所有分類]第五章約束優化方法-資料下載頁

　　

【正文】 ? K ? K +1 **KXX ? )(**KFF x? 出口 Y Y N N 外點法流程圖 例 53用外點法求解 st. 的最優解。 解：構成懲罰函數 對于任意給定的懲罰因子 r(k)0，用解析法求 的無約束極小點，即： ),( kRX?由上面可知，當逐漸增大 r(k)值，直至趨近于無窮大時，X*(r(k))逼近原約束問題的最優解。 x2 x1 例 54： 用外點法求解 st. 的最優解 解 構成懲罰函數 得到約束極值點， 即： 得： 無約束極值點沿直線 從約束區域外向最優點 收斂。 *x用外懲罰函數法解等式約束優化問題 設有二維等式約束優化問題 54)(m i n 2221 ??? xxXF010)(. 211 ???? xxXhts ： 函數圖形見圖。 x1+x210=0直線是該約束優化問題的可行域，這條直線以外的整個平面為非可行域。目標函數的等值線與直線 x1+x210=0的切點是該問題的最優點。 按外點法構造懲罰函數 ?????qvvKK XhrXFrX12)()( )]([)() ,( x1 x2 X h1( X )= 0 F* o F ( X ) 等式約束優化問題 該懲罰函數是由原目標函數及懲罰項組成。在可行域上，懲罰項的值為零，懲罰函數的值與原目標函數的值相同；而在非可行域上懲罰項的值恒為正，懲罰函數大于原目標函數，即在可行域外懲罰項起到了懲罰作用。懲罰因子 r(K) 越大，則懲罰的作用越大。 隨著懲罰因子 r(K) 的增大過程，求出懲罰函數的無約束最優點列 ，在 的過程中，則點列將趨于原約束優化的最優解 X*。 此例可以推廣到一般具有等式約束優化的問題 )(m in XFqvXhts v ,2 ,1 0)(. ???：構成外懲罰函數如下 ?????qvvKK XhrXFrX12)()( )]([)() ,( 式中，懲罰因子 r(K)，規定為正，且是遞增數列，即 r(0)r(1)r(2)…… 。懲罰項 ，在可行域上懲罰項為零；在非可行域上懲罰項恒為正。隨著 r(K) 的增大，其懲罰項的懲罰作用也越大。 懲罰函數是由原目標函數與懲罰項組成。在可行域上，懲罰函數與原目標函數值相等，即 ；在非可行域上，由于懲罰項的值恒為正，將使 。隨著 r(K) 的增大，致使 。為使罰因子 r(K) 是遞增數列，令 ， c是懲罰因子的遞增系數， c1。 罰函數解等式約束優化問題的求解過程及基本參數的選擇與前述用外點法解不等式約束優化問題相同。 外點法特點 : 外懲罰函數法既可解不等式約束優化問題，也可解等式約束優化問題，這是其重要優點；另外一個優點是其初始點 X(0) 可以任選，即在可行域中或非可行域均可。其確定是系列無約束最優點是非可行點，對于工程設計一般是不可取的。為使最終的迭代點落入可行域，必須設置約束容差帶。 ? 課堂練習 例 55 用外點法求解下列有約束優化問題 解：懲罰函數為： 對上式求偏導 ， 得 可行域內 可行域外 無約束目標函數極小化問題的最優解系列為： 當懲罰因子漸增時 ， 由下表可看出收斂情況 。 *1x *2x *()r? *()frr 1 10 1000 ∞ 1 0 8/3 8/3 22 }2,0m a x {1)()(???? xrxxxkk）（如下：構造函數解：????????????2)2(12)1(222xxrxxx）（????????)2(21212)(xrxxdxxd k）（）（?0)2(2120)(?????xrxdxxd k）（可得：由?的最優解。，問題這就是對于固定的所以)(m i n121)(*xrrrrxxkRxkn??????解。就是所求原問題的最優，*** 2121l i m)(l i mxxrrrxrr?????????內點法和外點法的簡單比較 內點法的特點： （ 1）始點必須為嚴格內點 （ 2）不適于具有等式約束的數學模型 （ 3）迭代過程中各個點均為可行設計方案 （ 4）一般收斂較慢 （ 5）初始罰因子要選擇得當 （ 6）罰因子為遞減，遞減率 c有 0c1 外點法的特點： （ 1）初始點可以任選 （ 2）對等式約束和不等式約束均可適用 （ 3）僅最優解為可行設計方案 （ 4）一般收斂較快 （ 5）初始罰因子要選擇得當 （ 6）罰因子為遞增，遞增率 c有 c1 167。 57 混合懲罰函數法 用懲罰函數法解含有不等式約束和等式約束的一般約束優化問題的方法稱為混合懲罰函數法，簡稱混合法。 一、混合懲罰函數法的形式及其特點 一般約束優化問題的數學模型 由前述可知，懲罰函數是由原目標函數和懲罰項組成的。由于該問題的約束條件包含不等式約束與等式約束兩部分，因此，懲罰項也由對應的兩部分組成。對于等式約束的部分只有外懲罰函數一種形式，而對于不等式約束部分可以用內懲罰函數或外懲罰函數的形式。按照對不等式約束處理的方法不同，混合懲罰函數法具有兩種不同的形式。 內點形式的混合法 不等式約束部分按照內點法形式處理的混合法，其懲罰函數的形式為 初始點必須是滿足諸不等式約束條件的可行點 x(o) ,初始罰因子 r(0)、降低系數 c的選取均應參照內點法。 外點形式的混合法 不等式約束部分按外點法處理的混合法，其懲罰函數的形式為 初始點可以在空間內任選，初始罰因子 r(0)、遞增系數 c可以參照外點法選取。 對于設計點 x, 不滿足的等式約束和不等式約束部分按照外點法處理，而對于 x滿足不等式約束用內點法形式處理，其懲罰函數的形式為 初始點必須是滿足諸不等式約束條件的可行點 x(o) ,初始罰因子 r(0)、降低系數 c的選取均應參照內點法。 二、算法步驟及流程圖 例 54： 設有二維一般約束優化問題，數學模型為 解：目標函數的等值線和約束曲線見圖所示，最優點 X* 既要落在 [gu(X) ， u=1~4] 所包圍的區域內，同時必須在等式約束 h(X)=0的直線上。 首先寫出罰函數 。 用內點形式的混合法的罰函數為 用外點形式的混合法的罰函數為 將已知條件代入上式中，選取初始點 X(0)，初始罰因子r(0)，遞減系數 c（對于內點形式的混合法）或遞增系數 c（對于外點形式的混合法）。選擇無約束優化方法進行求解，即可獲得其結果。 懲罰函數法原理簡單，算法易行，且分內點法、外點法和混合法三種，各有特點，適用范圍廣。需要和有效的無約束優化方法結合使用。因此該方法也是應用較多的有約束優化方法。 167。 58擴展內懲罰函數法（新） 這種方法的實質是將懲罰函數在可行域內和可行域外，分別給出定義，這樣一旦遇上非可行初始點，也能立即為極小化的程序所接受，自動為下一次求懲罰函數的極小化提供一個可行的初始點，這是一種比較成功的替換方法。 二次擴展內懲罰函數 ?????miiKK XZrXfrX1)()(),(?)( XZ i)(1Xgi ))(( 0gXg i ? ]3))((3))([(10200?? gXggXgg ii －可行域內，內點法。 ))(( 0gXg i ?G0－轉換點，一般取 約束裕量，將約束面放寬 采用一維搜索 H1－懲罰函數 在 Xk點的二階導數逆矩陣。 KKKK SXX a??? 1 )(1 KXHS ???? ? ),(KrZ?g0 F(X) X g(X)=X1 01 0 ??? gX g0 F(X) X g(X)=X1 01 0 ??? gX