概率論與數理統計_第三章-資料下載頁

　　

【正文】 + ∞(只需在非零區域內一段上積 分 ). ? ?????zZ dxxzxzf0 50105010)(? ? ????zdxxzxz02 )101 0 0(2 5 0 01100 ?? z1 5 0 0 0606 0 0 32 zzz ???例 2續 2 ? ? 2022 ?? z??????? 1010 50105010)(zZ dxxzxzf1 5 0 0 0)20( 3z????????10102 )10100(25001zdxxzxz200 ?? zz 或,0)()( ?? xzfxf YX因為 所以 .0)( ?zfZ例 2續 3 ?????????????????.0,2022,1 5 0 0 0)20(,100,1 5 0 0 0606 0 0)(332其它zzzzzzzfZ綜上可得 : □ 例 2續 4 離散型隨機變量和分布 設 離散型 隨機變量 (X,Y)的 概率分布 為 ???????????kjikji zyxijjizyxk pyYxXPzZP },{}{),3,2,1,(},{ ????? jipyYxXP ijji 則隨機變量 Z=X+Y的 概率分布 為： ),3,2,1( ??k 特別 ,當 X,Y獨立時 ,則 Z=X+Y的 概率分布 為： jzyxijizyxk ppyYPxXPzZPkjikji..}{}{}{ ???????????【 例 3】 [:例 1] 〖 解 〗 Z=X+Y可能取值為 3,2,1,0,1,2,3。且 }3{}3{ ?????? YXPZP。121}2,1{ ?????? YXP}2{}2{ ?????? YXPZP。121}1,1{ ?????? YXP}1{}1{ ?????? YXPZP。123}0,1{ ????? YXP}0{}0{ ???? YXPZP。122}2,2{ ????? YXP}1{}1{ ???? YXPZP。121}1,2{ ????? YXP}2{}2{ ???? YXPZP。0}1,3{ ????? YXP}3{}3{ ???? YXPZP.122}0,3{ ???? YXP□ 值得注意 :二項分布和泊松分布均具有 “ 可加性 ” ： ),(~),(~ 21 pnBYpnBX),(~ 21 pnnBYX ???)(~),(~ 21 ?? PYPX)(~ 21 ?? ??? PYX 設 連續型 隨機變量 (X,Y)的 概率密度 為 }{)( zZPzF Z ??),( yxf 則隨機變量 Z=X/Y的 分布函數 為： }/{ zYXP ??.),(/????zyxd x d yyxf???????yzdxyxfdy ),(0???????yzdyyxfdy ),(0二、商分布 Z=X/Y ???? ??21),(),(GGd x d yyxfd x d yyxf)),(( 2Ryx ?由廣義積分求導公式得： Z=X/Y的概率密度為 )()( zFzf ZZ ?? ???????yzdxyxfdydzd ),(0???????yzdyyxfdydzd ),(0??????????????yzyzdxyxfdzddydxyxfdzddy ),(),( 00????????00),(),( dyyyzyfdyyyzyf ?????? dyyyzfy ),(||?????? dyyyzfyzf Z ),(||)(即 商分布的概率密度 為： 于是 ,上述公式變為 : ydyfyzfyzf YXZ ?????? )()(||)( 特別，當 X與 Y相互 獨立 時 ,幾乎處處有 : )()(),( yfxfyxf YX ??設隨機變量 X,Y相互獨立 ,且概率密度均為： ???????,0,1 00 0,1 00 0)( 2其它tttf求 Z=X/Y概率密度。 〖 解 〗 因為 X,Y獨立 ,所以由 公式 ydyfyzfyzf YXZ ?????? )()(||)( 計算商分布的概率密度。 【 例 4】 計算積分 思路 : 。2. z取任意實 數 。 (∞,+∞)上積分 。 z分段 . 計算方法與卷積類似 ? 由邊緣概率密度確定 的表達式 , 特別是其非零區域 )()( yfyzf YX由題目條件得 : ????? ????,01 0 0 0,1 0 0 0,1 0 0 0)(1 0 0 0)()( 22其它yzyyyzyfyzf YX故得 : ????? ??,0,1000,)(1000)( 2其它yzyzyzf X????? ??,0,1 0 0 0,1 0 0 0)( 2其它yyyf Y例 4續 1 ? 計算參量積分 ? 函數自變量為 z,積分變量為 y,當 z取值范圍確 定后 ,x由 ∞積分至 + ∞(只需在非零區域內一段上積 分 ). ??????zZ dyyyzyzf1000221 0 0 0)(1 0 0 0)(? 10 ?? z,21?? z?1??????10 0 0221 0 0 0)(1 0 0 0)( dyyyzyzf Z,212z?例 4續 2 ? 0?z 因為 所以 ,0)()( ?yfyzfYX .0)( ?zfZ綜上可得 : ?????????????.,0,121,10,21)(2其它zzzzfZ□ 例 4續 3 三、極大 (小 )分布 設隨機變量 X,Y相互 獨立 ，其 分布函數 分別為 }),{ m a x (}{)(m a x zYXPzMPzF ????)(),( yFxF YX 現求隨機變量 M=max{X,Y},N=min{X,Y}的 分布函數 . 由分布函數的定義得； }{}{},{ zYPzXPzYzXP ???????)。()( zFzF YX ??}{1}{)(m i n zNPzNPzF ?????},{1}),{ m i n (1 zYzXPzYXP ???????}]{1[}]{1[1 zYPzXP ???????}{}{1 zYPzXP ?????)](1[)](1[1 zFzF YX ?????)](1[)](1[1)()()()(m i nm a xzFzFzFzFzFzFYXYX??????? 于是， 極大 (小 )分布 的分布函數為 特別 ,當 X,Y獨立且同分布時 ,有 2m i n2m a x)](1[1)()]([)(zFzFzFzF???? 上述結果可推廣到有限個隨機變量情形 . ????????????????????? ????????????????????? ? :1。 2。 3 。 7。 ? :12。 : 14。15。17 。 ? :20。22 。 本章作業