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均值不等式常考題型-資料下載頁

2026-03-16 00:08本頁面

　　

【正文】條件與結論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函數式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W＞0，W2＝3x＋2y＋2＝10＋2≤10＋()2()2 ＝10＋(3x＋2y)＝20　　∴ W≤＝2 變式: 求函數的最大值。解析：注意到與的和為定值。又，所以當且僅當=，即時取等號。故。評注：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用均值不等式創造了條件。總之，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創造條件利用均值不等式。應用二：利用均值不等式證明不等式1．已知為兩兩不相等的實數，求證：1）正數a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc例6：已知a、b、c，且。求證：分析：不等式右邊數字8，使我們聯想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“2”連乘，又，可由此變形入手。解：a、b、c。同理。上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得。當且僅當時取等號。應用三：均值不等式與恒成立問題例：已知且，求使不等式恒成立的實數的取值范圍。解：令，。，應用四：均值定理在比較大小中的應用：例：若，則的大小關系是 .分析：∵ ∴（ ∴RQP。

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