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平面向量典型例題-資料下載頁

2026-03-16 01:22本頁面

　　

【正文】 ③B＝45176。，試從中選擇兩個條件以確定△ABC，求出所確定的△ABC的面積．(注：只需要選擇一種方案答題，如果用多種方案答題，則按第一方案給分)．[解析]　(1)因為m⊥n，所以－cosBcosC＋sinBsinC－＝0，即cosBcosC－sinBsinC＝－，所以cos(B＋C)＝－，因為A＋B＋C＝π，所以cos(B＋C)＝－cosA，所以cosA＝，A＝30176。.(2)方案一：選擇①②，可確定△ABC，因為A＝30176。，a＝1,2c－(＋1)b＝0，由余弦定理得，12＝b2＋(b)2－2bb解得b＝，所以c＝，所以S△ABC＝bcsinA＝＝，方案二：選擇①③，可確定△ABC，因為A＝30176。，a＝1，B＝45176。，C＝105176。，又sin105176。＝sin(45176。＋60176。)＝sin45176。cos60176。＋cos45176。sin60176。＝，由正弦定理c＝＝＝，所以S△ABC＝acsinB＝1＝.(注意：選擇②③不能確定三角形)(理)如圖，⊙O方程為x2＋y2＝4，點P在圓上，點D在x軸上，點M在DP延長線上，⊙O交y軸于點N，∥，且＝.(1)求點M的軌跡C的方程；(2)設F1(0，)、F2(0，－)，若過F1的直線交(1)中曲線C于A、B兩點，求的取值范圍．[解析]　(1)設P(x0，y0)，M(x，y)，∵＝，∴，∴，代入x＋y＝4得，＋＝1.(2)①當直線AB的斜率不存在時，顯然＝－4，②當直線AB的斜率存在時，不妨設AB的方程為：y＝kx＋，由得，(9＋4k2)x2＋8kx－16＝0，不妨設A1(x1，y1)，B(x2，y2)，則，＝(x1，y1＋)(x2，y2＋)＝(x1，kx1＋2)(x2，kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋20＝＋＋20＝＋20＝－4＋，∵k2≥0，∴9＋4k2≥9，∴0≤，∴－4≤，綜上所述，的取值范圍是(－4，]．25. 在平面直角坐標系內，已知兩點A(－1,0)、B(1,0)，若將動點P(x，y)的橫坐標保持不變，縱坐標擴大到原來的倍后得到點Q(x，y)，且滿足＝1.(1)求動點P所在曲線C的方程；(2)過點B作斜率為－的直線l交曲線C于M、N兩點，且＋＋＝0，又點H關于原點O的對稱點為點G，試問M、G、N、H四點是否共圓？若共圓，求出圓心坐標和半徑；若不共圓，請說明理由．[解析]　(1)設點P的坐標為(x，y)，則點Q的坐標為(x，y)，依據題意得，＝(x＋1，y)，＝(x－1，y)．∵＝1，∴x2－1＋2y2＝1.∴動點P所在曲線C的方程是＋y2＝1.(2)因直線l過點B，且斜率為k＝－，∴l：y＝－(x－1)，聯立方程組，消去y得，2x2－2x－1＝0.設M(x1，y1)、N(x2，y2)，∴∴y1＋y2＝－(x1－1)－(x2－1)＝－(x1＋x2)＋＝.由＋＋＝0得，＝(－x1－x2，－y1－y2)，即H(－1，－)，而點G與點H關于原點對稱，∴G(1，)，設線段MN、GH的中垂線分別為l1和l2，kGH＝，則有l1：y－＝(x－)，l2：y＝－解得l1和l2的交點為O1(，－)．因此，可算得|O1H|＝＝，|O1M|＝＝.所以M、G、N、H四點共圓，且圓心坐標為O1(，－)，半徑為.第 11 頁共 11

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