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拋物線簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)典型例題-資料下載頁(yè)

2026-03-16 02:27本頁(yè)面

　　

【正文】解析幾何中最基本的、貫穿始終的方法，本題應(yīng)充分考慮正方形這一條件．典型例題十例10　設(shè)有一顆彗星圍繞地球沿一拋物線軌道運(yùn)行，地球恰好位于拋物線軌道的焦點(diǎn)處，當(dāng)此彗星離地球?yàn)闀r(shí)，經(jīng)過(guò)地球與彗星的直線與拋物線的軸的夾角為，求這彗星與地球的最短距離．分析：利用拋物線有關(guān)性質(zhì)求解．解：如圖，設(shè)彗星軌道方程為，焦點(diǎn)為，彗星位于點(diǎn)處．直線的方程為．解方程組得，故．．故，得．由于頂點(diǎn)為拋物線上到焦點(diǎn)距離最近的點(diǎn)，所以頂點(diǎn)是拋物線上到焦點(diǎn)距離最近的點(diǎn)．焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離為，所以彗星與地球的最短距離為或，（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊與右邊時(shí)，所求距離取不同的值）．說(shuō)明：(1)此題結(jié)論有兩個(gè)，不要漏解；(2)本題用到拋物線一個(gè)重要結(jié)論：頂點(diǎn)為拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離最近的點(diǎn)，其證明如下：設(shè)為拋物線上一點(diǎn)，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，依拋物線定義，有，當(dāng)時(shí)，最小，故拋物線上到焦點(diǎn)距離最近的點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．典型例題十一例11　如圖，拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，圓的圓心是拋物線的焦點(diǎn)，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且斜率為2，直線交拋物線與圓依次為、四點(diǎn)，求的值．分析：本題考查拋物線的定義，圓的概念和性質(zhì)，以及分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，本題的關(guān)鍵是把轉(zhuǎn)化為直線被圓錐曲線所截得的弦長(zhǎng)問(wèn)題．解：由圓的方程，即可知，圓心為，半徑為2，又由拋物線焦點(diǎn)為已知圓的圓心，得到拋物線焦點(diǎn)為，設(shè)拋物線方程為，∵為已知圓的直徑，∴，則．設(shè)、∵，而、在拋物線上，由已知可知，直線方程為，于是，由方程組消去，得，∴．∴，因此，．說(shuō)明：本題如果分別求與則很麻煩，因此把轉(zhuǎn)化成是關(guān)鍵所在，在求時(shí)，又巧妙地運(yùn)用了拋物線的定義，從而避免了一些繁雜的運(yùn)算．第 12 頁(yè) 共 12 頁(yè)

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