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2026-03-16 02:32本頁面

　　

【正文】 ,從而,即,.顯然,,.所以是的極大理想.:是的極大理想是素數.注這里應假定為正整數.證明由于是有單位元的交換環,因此,從而,即,.,.任取,因此與互素,從而,存在,.所以是的極大理想.,存在大于的整數,是的真理想,..證明 ,使得是一個除環,但不是域.對于中的任意向量,我們定義與的乘積為:.容易驗證,我們定義的乘法適合結合律,易見,是環的單位元。這四個元素中兩兩相乘的結果如下表所示:由此可見,:,從而,環是除環,但不是域.,是的素理想鏈,證明:是的素理想.證明 ,使得不包含于,根據第2題,是的素理想.注也可以根據課本中的素理想的定義直接證明.,是的一個真理想,證明:存在的極大理想使.證明 :,.于是,存在,使得,.由于是的有序子集,不妨假定從而,.由于是的理想,因此,從而,.,由于的任意性,根據Zorn引理我們可以斷言,.()的整環,證明:且映射是一個環同態.證明 (7),.當時,從而,.由于的特征為(),當時,.所以.將本題中所說的映射記做,則,.所以是環的自同態.,假設沒有零因子,證明:是除環.證明由于是有限環且沒有零因子,因此是非空有限集,因此上的乘法(即上的乘法在上的限制),根據第一章167。2習題第18題的第(2)小題,是除環.,證明:是一個域的理想只有和.注 :當時,是有單位元的交換環,不是一個域,“設是至少含有兩個元素的有單位元的交換環,證明:是一個域的理想只有和.”下面就修改后的題目進行證明.證明 :,因此對于任意的,存在,使得,從而,.由此可見,.所以的理想只有和.,存在非零元,從而,且.:有限除環一定是域.注這里要證明的命題是著名的Wedderburn定理,原題中應刪去“有單位元的”這幾個字,因為凡是除環都有單位元. 167。6 整環的因子分解:是中的既約元.證明考察高斯整數環:顯然,(其中),.從而,.由此可見,(其中),使得.于是,.由此可見,或,從而,.:,都是中的既約元.注這里表示的一個平方根.證明考察整環:顯然,(其中),使得.于是,.由此可見, ,.假設,(其中),使得.于是,.由此可見,或,從而,或者,.所以是中的既約元.假設,(其中),使得.于是,.顯然,無論是什么整數,.這樣一來由上式可以推知, 且,或者,。當時,.所以是中的既約元.假設,(其中),使得.于是,.由此可見,。當時,.所以都是中的既約元.:是域.證明由于是有單位元的交換環,為了證明是域,只需證明是的極大理想.事實上,從而,.,存在,從而,.所以是的極大理想.:整數環是主理想整環.證明 ,.,:根據帶余除法,存在整數和,使得,.由此可見,.假如,從而,.由于的任意性,.,.:不是主理想整環.證明 167。5習題第8題知,.假設存在,使得,.,從而,不是主理想整環.:是歐氏環.證明 :,對于任意的(其中),我們有.此外,顯然,并且,是到的映射. 任意給定,現在只需闡明存在,使得,其中或. 事實上,我們有.根據帶余除法,存在,使得,。,.,從而, .注意到,由上式可知,.則,并且.當時,.,且,證明:僅有有限多個主理想包含.證明 ,對與任意的,當且僅當是的因子。 ,因此僅有有限多個不同因子(相伴的真因子看成同一個真因子).所以僅有有限多個主理想包含.,證明:在中不存在下列形式的理想鏈注其中,是指“真包含于”.例如,是指且.證明假設在中存在理想鏈,由于是唯一分解整環,因此僅有有限多個不同因子(相伴的真因子看成同一個真因子).這個矛盾表明中不存在這樣的理想鏈.9. 設是一個整環,令: .由于是主理想整環,:當時,。當時,.證明 ,使得.,則,從而,.,從而,.所以.,對于任意的正整數,從而,.所以.,令,證明:與互素.證明 ,存在,使得,從而,.,因此,從而,存在,使得,從而,..,假設且與互素,證明:.證明當時,由可知,。由與互素可知,.當是單位時,顯然.假設既不是,因此既不是,也不是單位。從而,不妨設,使得.由于與互素,因此(與(,由上式可知,可以表示成如下形式:.所以.,證明:.證明顯然,當或時,從而,。當是單位或是單位時, .現在假設和既不是,,.如果與互素,那么,(與(,因為是唯一分解整環,可以表示成如下形式:.所以.,證明:與互素存在使.證明由于是主理想整環,我們有與互素是與的最大公因子存在使.167。7 唯一分解整環上的多項式環,證明:中首項系數為1的多項式都能分解成一些既約元的乘積.注首項系數為1的零次多項式就是,不是既約元,:設是一個整環,證明:中首項系數為1的次數大于零的多項式都能分解成一些既約元的的乘積.證明我們已經知道,.當是首項系數為1的次多項式時,顯然)是既約元.假設當是首項系數為1的次數小于或等于的多項式時, :若是既約元,則存在首項系數為1的多項式,使得,.所以中首項系數為1的次數大于零的多項式都能分解成一些既約元的乘積.,是的分式域,和的首項系數都為,假設在中,證明:.注題中不必假定的首項系數為.證明由于在中,因此存在非零多項式,存在和上的本原多項式,使得,.于是, .由于是上的首項系數為的多項式,因此是本原多項式。由于和都是上的本原多項式,(Gauss引理),是中的單位,從而,所以.

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