數列與不等式綜合-專題(教師用)-資料下載頁

　　

【正文】 3＋a5＝26，可得a1＝1，故Sn＝n＋2n(n－1)＝2n2－n，∴Tn＝，要使得Tn≤M，只需M≥2即可，故M的最小值為2，答案：214．無窮等比數列{an}中，a1＞1，|q|＜1，且除a1外其余各項之和不大于a1的一半，則q的取值范圍是________.答案：(－1，0]∪(0，] 【解析】≤222。q≤，但|q|＜1，且q≠0，故q∈(－1，0]∪(0，].15．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差數列，x，c，d，y成等比數列，則的最小值是________.Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．4答案：4 【解析】∵＝≥＝4.16．等差數列{an}的公差d不為零，Sn是其前n項和，給出下列四個命題：①A．若d＜0，且S3＝S8，則{Sn}中，S5和S6都是{Sn}中的最大項；②給定n，對于一定k∈N*(k＜n)，都有ank＋an+k＝2an；③若d＞0，則{Sn}中一定有最小的項；④存在k∈N*，使ak－ak+1和ak－ak1同號其中真命題的序號是____________.答案：D 【解析】對于①：∵S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴S5＝S6，又d＜0，S5＝S6為最大，故A正確；對于②：根據等差中項知正確；對于③：∵d＞0，點(n，Sn)分布在開口向上的拋物線，故{Sn}中一定有最小的項，故③正確；而ak－ak+1＝－d，ak－ak1＝d，且d≠0，故④為假命題.三、解答題17．已知{an}是一個等差數列，且a2＝1，a5＝－5．（Ⅰ）求{an}的通項；（Ⅱ）求{an}前n項和Sn的最大值．【解】（Ⅰ）設{an}的公差為d，由已知條件，解出a1＝3，d＝－2．所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5．（Ⅱ）Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝－(n－2)2＋4，所以n＝2時，Sn取到最大值4．18．已知{an}是正數組成的數列，a1＝1，且點(，an+1)(n∈N*）在函數y＝x2＋1的圖象上.(Ⅰ)求數列｛an｝的通項公式；(Ⅱ)若列數｛bn｝滿足b1＝1,bn+1＝bn＋2an，求證：bn bn+2＜b2n+1.【解】(Ⅰ)由已知得an+1＝an＋1，即an+1－an＝1，又a1＝1，所以數列｛an｝是以1為首項，公差為1的等差數列，故an＝1＋(a－1)1＝n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an＝n從而bn+1－bn＝2n.bn＝(bn－bn1)＋(bn1－bn2)＋…＋（b2－b1）＋b1＝2n1＋2n2＋…＋2＋1＝＝2n－1.因為bnbn+2－b＝(2n－1)(2n+2－1)－(2n1－1)2＝(22n+2－2n+2－2n＋1)－(22n+2－2－2n+1－1)＝－52n＋42n＝－2n＜0,所以bnbn+2＜b.19．設數列{an}的首項a1∈(0，1)，an＝，n＝2，3，4，….（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）設bn＝an，證明bn＜bn+1，其中n為正整數．【解】（Ⅰ）由an＝，n＝2，3，4，….整理得 1－an＝－(1－an1)．又1－a1≠0，所以{1－an}是首項為1－a1，公比為－的等比數列，得an＝1－(1－a1)(－)n1，（Ⅱ）由（Ⅰ）可知0＜an＜，故bn＞0．那么，bn+12－bn2＝an+12(3－2an+1)－an2(3－2an)＝()2(3－2)－an2(3－2an)＝(an－1)2.又由（Ⅰ）知an＞0，且an≠1，故bn+12－bn2＞0，因此 bn＜bn+1，為正整數．20．已知數列{an}中a1＝2，an+1＝(－1)( an＋2)，n＝1，2，3，….（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）若數列{an}中b1＝2，bn+1＝，n＝1，2，3，….證明：＜bn≤a4n3，n＝1，2，3，…【解】（Ⅰ）由題設：an+1＝(－1)(an＋2)＝(－1)(an－)＋(－1)(2＋)，＝(－1)(an－)＋，∴an+1－＝(－1)(an－)．所以，數列{an－}a是首項為2－，公比為－1)的等比數列，an－＝(－1)n，即an的通項公式為an＝[(－1)n＋1]，n＝1，2，3，….（Ⅱ）用數學歸納法證明．（ⅰ）當n＝1時，因＜2，b1＝a1＝2，所以＜b1≤a1，結論成立．（ⅱ）假設當n＝k時，結論成立，即＜bk≤a4k3，也即0＜bn－≤a4k3－，當n＝k＋1時，bk+1－＝－＝＝＞0，又＜＝3－2，所以bk+1－＝＜(3－2)2(bk－)≤(－1)4(a4k3－)＝a4k+1－也就是說，當n＝k＋1時，結論成立．根據（ⅰ）和（ⅱ）知＜bn≤a4n3，n＝1，2，3，….21．已知二次函數y＝f(x)的圖像經過坐標原點，其導函數為f162。(x)＝6x－2，數列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn)(n∈N*)均在函數y＝f(x)的圖像上.（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；（Ⅱ）設bn＝，Tn是數列{bn}的前n項和，求使得Tn＜對所有n∈N*都成立的最小正整數m；【解】（Ⅰ）設這二次函數f(x)＝ax2＋bx (a≠0) ，則 f`(x)＝2ax＋b，由于f`(x)＝6x－2， 得a＝3 ，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x.，又因為點(n，Sn)(n∈N*)均在函數y＝f(x)的圖像上，所以Sn＝3n2－2n，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，當n＝1時，a1＝S1＝312－2＝61－5，所以，an＝6n－5（n∈N*）.（Ⅱ）由（Ⅰ）得知bn＝＝＝(－)，故Tn＝bi＝[(1－)＋(–)＋…＋(－)]＝(1–），因此，要使(1－）＜（n∈N*）成立的m，必須且僅須滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數m為10.22．數列滿足，（），是常數．（Ⅰ）當時，求及的值；（Ⅱ）數列是否可能為等差數列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由；（Ⅲ）求的取值范圍，使得存在正整數，當時總有．【解】（Ⅰ）由于，且．所以當時，得，故．從而．（Ⅱ）數列不可能為等差數列，證明如下：由，得，．若存在，使為等差數列，則，即，解得．于是，．這與為等差數列矛盾．所以，對任意，都不可能是等差數列．（Ⅲ）記，根據題意可知，且，即且，這時總存在，滿足：當時，；當時，．所以由及可知，若為偶數，則，從而當時，；若為奇數，則，從而當時．因此“存在，當時總有”的充分必要條件是：為偶數，記，則滿足．故的取值范圍是，且，成等差數列，（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）若，設為數列的前項和，若≤對一切恒成立，求實數的最小值.解：（1）當時，,不成等差數列。 當時， ，∴ ， ∴，∴ ∴ （2） ≤ ，∴≤ ∴≥ 又≤ ，∴的最小值為 ，其前項和為，滿足，其中為正常數，且（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）設，數列的前項和為，求證：：（Ⅰ）由題設知，解得. 由 兩式作差得所以，即， 可見，數列是首項為，公比為的等比數列。 （Ⅱ） . ，對任意實數 滿足：（Ⅰ）當時求的表達式（Ⅱ）若，求（III）記，試證解：（Ⅰ）令，得故，∴當時=（Ⅱ）由 得∴故＝∴（III）由（Ⅱ）知，∵∴ .（Ⅰ）數列求數列的通項公式；（Ⅱ）已知數列，求數列的通項公式；（Ⅲ）設的前n項和為Sn，若不等式對所有的正整數n恒成立，求的取值范圍。解：（I），………1分 （Ⅱ）由已知得， ……1分∴又所以的公比為2的等比數列，∴。 （Ⅲ） ， 上是增函數 又不等式對所有的正整數n恒成立，故的取值范圍是第 26 頁 共 26