20xx中考復習-特殊四邊形綜合題-資料下載頁

　　

【正文】 OAC′，從而得出∠AMB=α．（1）證明：在矩形ABCD中，AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，∴OA=OC=OB=OD，又∵OD=OD′，OC=OC′，∴OB=OD′=OA=OC′，∵∠D′OD=∠C′OC，∴180176。﹣∠D′OD=180176。﹣∠C′OC，∴∠BOD′=∠AOC′，∴在△BOD′和△AOC′中，∴△BOD′≌△AOC′；（2）解：①△AOC′∽△BOD′；理由如下：∵在平行四邊形ABCD中，OB=OD，OA=OC，又∵OD=OD′，OC=OC′，∴OC′=OA，OD′=OB，∵∠D′OD=∠C′OC，∴180176。﹣∠D′OD=180176。﹣∠C′OC，∴∠BOD′=∠AOC′，∴△BOD′∽△AOC′，∴BD′：AC′=OB：OA=BD：AC，∵AC=kBD，∴AC′=kBD′，∴△BOD′∽△AOC′；②AC′=kBD′，∠AMB=α；設BD′與OA相交于點N，∴∠BNO=∠ANM，∴180176。﹣∠OAC′﹣∠ANM=180176。﹣∠OBD′﹣∠BNO，即∠AMB=∠AOB=α，綜上所述，AC′=kBD′，∠AMB=α；19．已知菱形ABCD的邊長為1，∠ADC=60176。，等邊△AEF兩邊分別交DC、CB于點E、F．（1）特殊發現：如圖1，若點E、F分別是邊DC、CB的中點，求證：菱形ABCD對角線AC、BD的交點O即為等邊△AEF的外心；（2）若點E、F始終分別在邊DC、CB上移動，記等邊△AEF的外心為P． ①猜想驗證：如圖2，猜想△AEF的外心P落在哪一直線上，并加以證明；②拓展運用：如圖3，當E、F分別是邊DC、CB的中點時，過點P任作一直線，分別交DA邊于點M，BC邊于點G，DC邊的延長線于點N，請你直接寫出的值．【分析】（1）連接OE、0F，由四邊形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，BD平分∠ADC，AD=DC=BC，又由E、F分別為DC、CB中點，證得0E=OF=OA，則可得點O即為△AEF的外心；（2）①連接PE、PA，過點P分別作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，求出∠IPJ的度數，又由點P是等邊△AEF的外心，易證得△PIE≌△PJA，可得PI=PJ，即點P在∠ADC的平分線上，即點P落在直線DB上；②連接BD、AC交于點P，由（1）可得點P即為△AEF的外心．設DM=x，DN=y（x≠0，y≠O），則CN=y﹣1，先利用AAS證明△GBP≌△MDP，得出BG=DM=x，CG=1﹣x，再由BC∥DA，得出△NCG∽△NDM，根據相似三角形對應邊成比例得出=，進而求出為定值2．（1）證明：如圖1，連接OE、0F，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD平分∠ADC，AD=DC=BC，∴∠COD=∠COB=∠AOD=90176。．∠ADO=∠ADC=60176。=30176。，又∵E、F分別為DC、CB中點，∴OE=CD，OF=BC，AO=AD，∴0E=OF=OA，∴點O即為△AEF的外心；（2）解：①猜想：外心P一定落在直線DB上．理由如下：如圖2，分別連接PE、PA，過點P分別作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，∴∠PIE=∠PJD=90176。，∵∠ADC=60176。，∴∠IPJ=360176。﹣∠PIE﹣∠PJD﹣∠JDI=120176。，∵點P是等邊△AEF的外心，∴∠EPA=120176。，PE=PA，∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA，∴△PIE≌△PJA，∴PI=PJ，∴點P在∠ADC的平分線上，即點P落在直線DB上；②為定值2．連接BD、AC交于點P，由（1）可得點P即為△AEF的外心．如圖3，設MN交BC于點G，設DM=x，DN=y（x≠0，y≠O），則CN=y﹣1，∵BC∥DA，∴∠GBP=∠MDP，∠BGP=∠DMP，又由（1）知BP=DP，∴△GBP≌△MDP（AAS），∴BG=DM=x，∴CG=1﹣x．∵BC∥DA，∴△NCG∽△NDM，∴=，∴=，∴x+y=2xy，∴+=2，即=2．20．在正方形ABCD中，BD是一條對角線，點E在直線CD上（與點C，D不重合），連接AE，平移△ADE，使點D移動到點C，得到△BCF，過點F作FG⊥BD于點G，連接AG，EG．（1）問題猜想：如圖1，若點E在線段CD上，試猜想AG與EG的數量關系是　AG=EG　，位置關系是　AG⊥EG　；（2）類比探究：如圖2，若點E在線段CD的延長線上，其余條件不變，小明猜想（1）中的結論仍然成立，請你給出證明；（3）解決問題：若點E在線段DC的延長線上，且∠AGF=120176。，正方形ABCD的邊長為2，請在備用圖中畫出圖形，并直接寫出DE的長度．【分析】（1）由平移得到EF=AD，再由正方形的性質得出∠ADG=∠CDB，DG=FG，從而證明△AGD≌△EGF即可；（2）由平移得到EF=AD，再由正方形的性質得出∠ADG=∠CDB，DG=FG，從而證明△AGD≌△EGF即可；（3）由（1）的結論AG=EG，AG⊥EG，得出∠GEA=45176。，推導出∠AED=30176。，再由三角函數即可求解．解：（1）如圖1，由平移得，EF=AD，∵BD是正方形的對角線，∴∠ADB=∠CDB=45176。，∵CF⊥BD，∴∠DGF=90176。，∴∠GFD+∠CBD=90176。，∴∠DFG=45176。，∴GD=GF，在△AGD和△EGF中，∴△AGD≌△EGF∴AG=EG，∠AGD=∠EGF，∴∠AGE=∠AGD+∠DGE=∠EGF+DGE=90176。，∴AG⊥EG．故答案為AG=EG，AG⊥EG．（2）（1）中的結論仍然成立，證明：如圖2由平移得，EF=AD，∵BD是正方形的對角線，∴∠ADB=∠CDB=45176。，∵CF⊥BD，∴∠DGF=90176。，∴∠GFD+∠CBD=90176。，∴∠DFG=45176。，∴GD=GF，在△AGD和△EGF中，∴△AGD≌△EGF∴AG=EG，∠AGD=∠EGF，∴∠AGE=∠AGD+∠DGE=∠EGF+DGE=90176。，∴AG⊥EG．（3）由（1）有，AG=CG，AG⊥EG，∴∠GEA=45176。，∵∠AGF=120176。，∴∠AGB=∠CGB，=30176。，∴∠FGE=∠CGB=∠CGE=30176。，∴∠CEG=75176。，∴∠AED=30176。，在Rt△ADE中，AD=2，∴DE=2．21．如圖，正方形ABCD邊長為6，菱形EFGH的三個頂點E、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、CD、DA上，連接CF．（1）求證：∠HEA=∠CGF；（2）當AH=DG=2時，求證：菱形EFGH為正方形；（3）設AH=x，DG=2x，△FCG的面積為y，試求y的最大值．【分析】（1）過F作FM⊥CD，垂足為M，連接GE，由AB與CD平行，利用兩直線平行內錯角相等得到一對角相等，再由GE為菱形的對角線，利用菱形的性質得到一對內錯角相等，利用等式的性質即可得證；（2）由于四邊形ABCD為正方形，四邊形HEFG為菱形，那么∠D=∠A=90176。，HG=HE，而AH=DG=2，易證△AHE≌△DGH，從而有∠DHG=∠HEA，等量代換可得∠AHE+∠DHG=90176。，易證四邊形HEFG為正方形；（3）欲求△FCG的面積，由已知得CG的長易求，只需求出GC邊的高，通過證明△AHE≌△MFG可得．（1）證明：過F作FM⊥CD，垂足為M，連接GE，∵CD∥AB，∴∠AEG=∠MGE，∵GF∥HE，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠FGM；（2）證明：在△HDG和△AEH中，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90176。，∵四邊形EFGH是菱形，∴HG=HE，在Rt△HDG和△AEH中，∴Rt△HDG≌△AEH（HL），∴∠DHG=∠AEH，∴∠DHG+∠AHE=90176。∴∠GHE=90176。，∴菱形EFGH為正方形；（3）解：過F作FM⊥CD于M，在△AHE與△MFG中，∴△AHE≌△MFG，∴MF=AH=x，∵DG=2x，∴CG=6﹣2x，∴y=CG?FM=?x?（6﹣2x）=﹣（x﹣）2+，∵a=﹣1＜0，∴當x=時，y最大=．22．如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，點E在邊AB上，∠DEC=90176。，且DE=EC．（1）求證：△ADE≌△BEC；（2）若AD=a，AE=b，DE=c，請用圖1證明勾股定理：a2+b2=c2；（3）線段AB上另有一點F（不與點E重合），且DF⊥CF（如圖2），若AD=2，BC=4，求EF的長．【分析】（1）首先得出∠ADE=∠CEB，再利用全等三角形的判定方法得出△ADE≌△BEC（AAS）；（2）利用梯形的面積和直角三角形面積公式求出答案；（3）利用全等三角形的性質結合相似三角形的判定與性質得出AF的長，進而得出答案．（1）證明：如圖1，∵∠DEC=90176。，∴∠AED+∠CEB=90176。，∵∠ADE+∠AED=90176。，∴∠ADE=∠CEB，在△ADE和△BEC中，∴△ADE≌△BEC（AAS）；（2） 證明：如圖1，∵AB⊥BC，∠DEC=90176。，∴△ADE，△DEC，△BEC都是直角三角形，∵AD=a，AE=b，DE=c，且DE=EC，△ADE≌△BEC，∴BE=a，BC=b，∴（a+b）（a+b）=ab+c2+ab，整理得：a2+b2=c2；（3） 解：如圖2，由（1）得：△ADE≌△BEC（AAS），則AD=BE=2，BC=AE=4，∵DF⊥CF，∴∠AFD+∠BFC=90176。，∵∠BFC+∠BCF=90176。，∴∠AFD=∠BCF，又∵∠A=∠B，∴△AFD∽△BCF，∴=，設AF=x，則BF=6﹣x，故=，解得：x1=2，x2=4，∵點F不與點E重合，∴x=2，∴EF=6﹣2﹣2=2．23．如圖1，正方形ABCD中，AC是對角線，等腰Rt△CMN中，∠CMN=90176。，CM=MN，點M在CD邊上，連接AN，點E是AN的中點，連接BE．（1）若CM=2，AB=6，求AE的值；（2）求證：2BE=AC+CN；（3）當等腰Rt△CMN的點M落在正方形ABCD的BC邊上，如圖2，連接AN，點E是AN的中點，連接BE，延長NM交AC于點F．請探究線段BE、AC、CN的數量關系，并證明你的結論．【分析】（1）根據正方形的性質和等腰直角三角形的性質知∠ACN=90176。，運用勾股定理計算即可；（2）延長NC與AB的延長線交于一點G，AC+CN轉化為GN，運用三角形的中位線性質易得證；（3）類比（2）易得BE=（AC﹣CN）．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，AB=6，∴AC=6，∵等腰Rt△CMN中，∠CMN=90176。，CM=MN，CM=2，∴CN=2，∵∠ACN=90176。，∴AN===4，∵點E是AN的中點，∴AE=2；（2）如圖①，延長NC與AB的延長線交于一點G，則△ACG是等腰直角三角形，B為AG的中點，∴AC=CG ∴GN=AC+CN，∵點E是AN的中點，∴BE=GN∴BE=AC+CN；（3）BE=（AC﹣CN）如圖②，延長CN與AB的延長線交于一點G，則△ACG是等腰直角三角形，B為AG的中點，∴AC=CG，∴GN=AC﹣CN，∵點E是AN的中點，∴BE=GN，∴BE=（AC﹣CN）．24．正方形ABCD的邊長為3，點E，F分別在射線DC，DA上運動，且DE=DF．連接BF，作EH⊥BF所在直線于點H，連接CH．（1）如圖1，若點E是DC的中點，CH與AB之間的數量關系是　CH=AB　；（2）如圖2，當點E在DC邊上且不是DC的中點時，（1）中的結論是否成立？若成立給出證明；若不成立，說明理由；（3）如圖3，當點E，F分別在射線DC，DA上運動時，連接DH，過點D作直線DH的垂線，交直線BF于點K，連接CK，請直接寫出線段CK長的最大值．【分析】（1）首先根據全等三角形判定的方法，判斷出△ABF≌△CBE，即可判斷出∠1=∠2；然后根據EH⊥BF，∠BCE=90176。，可得C、H兩點都在以BE為直徑的圓上，判斷出∠4=∠HBC，即可判斷出CH=BC，最后根據AB=BC，判斷出CH=AB即可．（2）首先根據全等三角形判定的方法，判斷出△ABF≌△CBE，即可判斷出∠1=∠2；然后根據EH⊥BF，∠BCE=90176。，可得C、H兩點都在以BE為直徑的圓上，判斷出∠4=∠HBC，即可判斷出CH=BC，最后根據AB=BC，判斷出CH=AB即可．（3）首先根據三角形三邊的關系，可得CK＜AC+AK，據此判斷出當C、A、K三點共線時，CK的長最大；然后根據全等三角形判定的方法，判斷出△DFK≌△DEH，即可判斷出DK=DH，再根據全等三角形判定的方法，判斷出△DAK≌△DCH，即可判斷出AK=CH=AB；最后根據CK=AC+AK=AC+AB，求出線段CK長的最大值是多少即可．解：（1）如圖1，連接BE，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90176。，∵點E是DC的中點，DE=DF，∴點F是AD的中點，∴AF=CE，在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE，∴∠1=∠2，∵EH⊥BF，∠BCE=90176。，∴C、H兩點都在以BE為直徑的圓上，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∵∠3+∠4=90176。，∠1+∠HBC=90176。，∴∠4=∠HBC，∴CH=BC，又∵AB=BC，∴CH=AB．故答案為：CH=AB．（2）當點E在DC邊上且不是DC的中點時，（1）中的結論CH=AB仍然成立．如圖2