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【正文】 3 X7+1因式分解后構成的循環碼特例 因式分解 x7+1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1)。 （ 1）若取 x+1為生成多項式，這是一種（ 7，6）碼，有 6個信息位， 1個糾錯位，這是一種偶校驗碼。 （ 2）若取 (x3+x2+1)為生成多項式，這是由本原多項式構成的（ 7， 4）的漢明碼。（能糾 1位錯碼）。 （ 3）若取 (x3+x+1)(x3+x2+1)為生成多項式，只有 1位信息位，構成的是全 1碼或全 0碼。 64 例題一 對于一（ 7， 3）循環碼，其 生成多項式 g(x)=(x3+x2+1)(x+1)=x4+x2+x+1 生成矩陣 G（ X）便可寫成 ????????????????????????????????????????1000000000)()()()(2423523462xxxxxxxxxxxxgxxgxgxXG65 例題一 ???????????111010001110100011101G 這不是典型的生成矩陣形式，若將第一 列 加上第三 列 ，則 如下生成矩陣形式。 ???????????111010001110101101001G66 例題一 假設信息碼是 111，生成序列為 A（ X） ? ?? ?0100111111010001110101101001111)(????????????XA假設信息碼是 110，生成序列為 A（ X） ? ?? ?1010011111010001110101101001011)(????????????XA和循環的結果一致。 67 例題一 ? 其它信息碼的編碼結果見下表 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a01 0 0 0 0 0 0 02 0 0 1 0 1 1 13 0 1 0 1 1 1 04 0 1 1 1 0 0 15 1 0 0 1 0 1 16 1 0 1 1 1 0 07 1 1 0 0 1 0 18 1 1 1 0 0 1 0碼組編號信息位 監督位68 循環碼編碼器 循環碼的編碼電路，用硬件實現，可以采用除法電路。 對于生成多項式為 g(x)=x4+x2+x+1的編碼器，其硬件電路如圖所示： 69 循環碼編碼器 工作原理，舉（ 7， 3）循環碼為例： （ 1）首先將 xn+1（ x7+1）多項式展開，取最高冪為 xnk（ x4）的一個組合項為 g(x)。 （ 2）對應 g(x)有 4級移位寄存器 D1， D2， D3，D4， g(x)多項式系數是 1還是 0表示該位上有無反饋線。 （ 3）當信息位輸入時，控制器使 Q1和 Q3為正， Q2為 0，開通門 1和門 3，此時電路除輸出信息碼之外，還送到除法電路進行運算。 （ 4）當信息位傳完之后，控制電路將 Q2為正， Q Q3為 0，開通門 2，使寄存器中的除法余項（監督碼元）依此輸出。 70 反饋 輸出D1 D2 D3 D4 F A0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 0 1 11 1 0 0 1 1 10 1 0 1 0 1 00 0 1 0 1 0 00 0 0 1 0 1 10 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 1移位寄存器輸入 M舉輸入信息碼 110為例 ,輸出碼為 1100101。 71 循環碼的解碼器 接收端解碼的要求有兩種： 檢錯 和 糾錯 。 達到 檢錯目的 的移碼原理十分簡單。由于任一碼組多項式都能被生成多項式整除，所以接收端可以將接收碼組 R(x)用原生成多項式 g(x)去除。 （ 1）若能除盡，傳輸中未發生錯誤。 （ 2）若除不盡，傳輸中發生了錯誤。 下圖是一個（ 15， 11）循環碼的檢錯譯碼器。 72 循環碼的解碼器 ? 解碼器的主要部分是一個除法器和緩沖移位寄存器。 ? 前 11拍輸出信碼到緩沖寄存器里等待輸出。 ? 第 15拍到來時，若除法器的結果 RE(x)等于 0,說明沒有誤碼，可以打開與門讓信碼輸出。 ? 第 15拍到來時，若除法器的結果 RE(x)不等于 0,說明有誤碼，刪除移位寄存器內容，并發出重發指令 73 循環碼的解碼器 在接收端為 糾錯 而采用的解碼方法要復雜的多。 對于 (7,3)循環碼，碼距等于 3，只能檢 2位誤碼和糾 1位誤碼。 一般是根據除法器中移位寄存器的狀態來確定誤碼的確切位置． （ 7,3）循環碼生成多項式是的 x3+x2+1，相應的移碼器如圖所示。 74 循環碼的解碼器 根據第 7拍到來時，除法器中移位寄存器的狀態可以判斷誤碼的位置。 D2 D1 D01 0 0 10 1 0 x10 0 1 x21 1 0 x30 1 1 x41 1 1 x51 0 1 x6移位寄存器狀態差錯位置75 自測題 （ 1） 比較前向糾錯 （ FEC） 、 檢錯重發 （ ARQ）和混合糾錯這三種差錯控制編碼方式的優缺點 。 （ 2） 對于一個碼長為 31的線性碼 ， 若允許糾正 2個錯誤 ， 至少需要多少位監督碼元 ？ （ 3） （ 23， 12） 格雷碼能糾正 3個隨機錯誤 ， 證明它是完備碼 。 （ 4） 已知循環碼生成多項式為 D4+D2+D+1， 輸入信息碼元為 101010…… ， 求編碼后的系統碼碼組 。N=? （ 5） 分組碼和卷積碼的區別是什么 ？ 76 （ 6） 循環碼主要特點是什么 ？ 如何實現編碼 ？ （ 7） 已知分組碼 （ 63， 51） ， 說明它的含義 ， 并估計它可能具有的糾錯能力 。 （ 8） 什么是交織碼 ？ 它的主要性能是什么 ？ （ 9） 已知卷積碼 （ 3， 2， 7） ， 說明它的含義 。 （ 10） 已知卷積碼 （ 2， 1， 7） 生成多項式的八進制表示為 （ 133） 8， 畫出它的編碼器方框圖 。 （ 11） 已知碼率為 1/2的卷積碼 ， 其生成多項式為G1（ D） =1， G2（ D） =1+D， 畫出它的樹狀圖 、 網格圖 。 （ 12） 某 QPSK系統 ， 傳輸速率為 64KB/S， 接收輸入EB/NO 為 8dB， 假設設備不理想引起的 EB/NO損失為 2 dB，求該 系統的誤比特率 。 若采用 （ 3， 2， 3） 卷積碼 ，在保持信道 頻帶不變時 ， 信息率為多少 ？ 誤比特率提高到多少 ？