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【正文】 傳遞函數 (陣 ) 1．單輸入一單輸出系統 已知系統的狀態空間表達式： 式中， 為 維狀態矢量； 和 為輸出和輸入，它們都是標量； A 為 方陣 。 為 列陣； c為 行陣； d為標量，一般為零。 （ 62） 對式 (62)進行拉氏變換，并假定初始條件為零，則有： （ 63） 故 U— X間的傳遞函數為： （ 64） 它是一個 的列陣函數。 間的傳遞函數為： 它是一個標量。 2．多輸入一多輸出系統 已知系統的狀態空間表達式： （ 66） 式中， 為 r 1輸入列矢量； 為 m 1輸出列矢量； B為 n r控制矩陣； C為 m n輸出矩陣； D為 m r直接傳遞陣； X， A為同單變量系統。 同前，對式 (66)作拉氏變換并認為初始條件為零，得： （ 67） 故 間的傳遞函數為 （ 68） 它是一個 n r 矩陣函數。 故 間的傳遞函數為： 它是一個 m r矩陣函數，即 （ 69） 其中各元素 都是標量函數，它表征第 個輸入對第 個輸出的傳遞關系。 當 時 ，意味著不同標號的插入與輸出有相互關聯，稱為有耦合關系， 這正是多變量系統的特點。 式 (69)還可以表示為： 可以看出， 的分母，就是系統矩陣 A的特征多項式， 的分子是 一個多項式矩陣。 應當指出，同一系統，盡管其狀態空間表達式可以作各種非奇異變換而 不是唯一的，但它的傳遞函數陣是不變的 c對于已知系統如式 (66)，其傳 遞函數陣為式 (69)。當做坐標變換，即令 時，則該系統的狀態空 間表達式為： （ 71） 那么對應上式的傳遞函數陣 應為： 即同一系統，其傳遞函數陣是唯一的。 子系統在各種連接時的傳遞函數陣 實際的控制系統，往往由多個子系統組合而成，或并聯，或串聯，或形成反 饋連接。現僅以兩個子系統作各種連接為例，推導其等效的傳遞函數陣。 設系統 1為： （ 72） 簡記為： 設系統 2為： 簡記為： 1．并聯連接 所謂并聯連接，是指各子系統在相同輸入下，組合系統的輸出是各子系 統輸出的代數和，結構簡圖如下圖所示。 由式 (72)和式 (73)，并考慮 得系統的狀態空間表達式： 從而系統的傳遞函數陣為： 故子系統并聯時，系統傳遞函數陣等于子系統傳遞函數陣的代數和。 2．串聯連接 串聯連接下如圖所示。讀者可自己證明，其串聯連接傳遞函數陣為： 即子系統串聯時，系統傳遞函數陣等于子系統傳遞函數陣之積。但應注 意，傳遞函數陣相乘，先后次序不能顛倒。 3．具有輸出反饋的系統 如下圖所示，由圖可得： 即 從而系統的傳遞函數陣為： 這里又遇到分塊求逆的問題，假定： 故有： 從而得： 由上兩式解得： 即 于是： 所以有： 同理也可求得： 離散時間系統的狀態空間表達式 連續時間系統的狀態空間方法，完全適用于離散時間系統。類似在連續 系統中，從微分方程或傳遞函數建立狀態空間表達式，叫系統的實現。在離 散系統中，從差分方程或脈沖傳遞函數求取離散狀態空間表達式，也是一種 實現。 相應地，系統傳遞函數為： (78) 設系統差分方程為： (77) 實現的任務就是確定一種狀態空間表達式： (79) 在認為兩相鄰采樣時刻， 不變的條件下，式 (79)的狀態空間表達式也可 以用模擬結構圖 (下圖 )表示。下圖中 T 代表單位延遲器，類似于連續系統中 的積分器。 實現是非唯一的，較簡單的實現見下圖所示的模擬結構圖。圖中 為 已知參數， 為待定常數。以每個延遲器的輸出作為一個狀態變量，可得： 矢量矩陣形式的離散狀態空間表達式為： 式中 的求法，類似于 (34)求 的計算公式，即： 多變量離散狀態空間表達式為： 時變系統和非線性系統的狀態空間表達式 以上討論的只是定常系統，其特征是它的狀態空間表達式中的 A、 B、 C、 D等矩陣的元素既不依賴于輸入、輸出，也與時間無關。 線性時變系統有： 它們的元素有些或全部是時間 t的函數。 線性時變系統的狀態空間表達式為： （ 81） 從高階線性時變微分方程推演出狀態空間表達式的方法，類似于前述線 性定常系統。 非線性系統 非線性的動態特性是用如下的 n個一階微分方程組描述的： 用矢量矩陣表示，則為： （ 83） 式中， 為矢量函數； 為 的元素。 如果式 (82)或式 (83)中不顯含時間 t，則為時不變非線性系統，而為： （ 84） 設 是滿足非線性方程式 (84)的一組解，即 （ 85） 如果我們只局限于考察輸入 偏離 為 時，對應于它， 也 偏離 也偏離 時的行為，則可以通過對系統的一次近 似而予以線性化。為此，將 附近作泰勒級數展開： （ 86） 它們分別是 n n， n x r， m x n， n x r維矩陣，其相應定義如下： 忽略儀 高次項，考慮到式 (85)，則式 (86)的線性 化表達式為： 令 并在式 (87)中將 這些微增量分別用 表示，則線 性化后的表達式就成了一般線性表達式了，即 本章完 小結 1 狀態空間表達式的概念 狀態空間表達式 輸出方程 狀態方程 形式：由輸入確定狀態向量的一階微分方程組 形式：由輸入、狀態向量確定輸出的代數方程 3 狀態空間的線性變換 線性變換概念、性質 Jordan 標準型計算 4 傳遞函數矩陣 傳遞函數矩陣概念、計算方法 2 狀態空間表達式的建立