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【正文】 特征根方程 特征根 02 22 ??? nn ss ???特征根性質 ④ 零阻尼 δ＝ 0，方程有一對純虛根，輸出等幅振蕩。 ① 過 阻尼 δ1， 方程有兩個不等的負實根， 輸出無振蕩 ② 臨界 阻尼 δ＝ 1， 方程有一對相等的負實根，輸出無振蕩 ③ 欠 阻尼 0δ1，方程有一對實部為負數的共軛復根，輸出振蕩 自控系統的基本概念 自控系統的數學描述 時域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統的校正 非線性系統的分析 自動控制原理 二階系統的單位階躍響應 tstsnnn ececsssLtc21 212221 1]12[)( ????????????)()( 1222221121 ssscsssc nn ?????? ；二階系統輸出的一般式為 式中 s s2為系統特征根，而 二階系統單位階躍響應通用曲線 ξ≥1時，階躍響應表現為無振蕩的單調上升曲線，以 ξ=1時的過渡過程時間最短。 ξ=0時系統響應變成等幅振蕩； 在欠阻尼情況中， ξ減小，響應的初始階段較快，但響應振蕩特性加劇，取ξ，過渡過程時間短，振蕩也不劇烈， ξ=標最優，稱為 最佳阻尼比 。 自控系統的基本概念 自控系統的數學描述 時域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統的校正 非線性系統的分析 自動控制原理 ② 臨界阻尼 (ξ=1)時的單位階躍響應 （ ） 響應的 穩態分量為 1 ， 暫態分量 隨著時間的推移 最終衰減到零， ess=0。 ① 過阻尼（ ξ1）時的單位階躍響應（ ） 響應的 穩態分量為 1 ；暫態響應分量由兩項負指數函數之和組成，且后面的指數項較前面的指數項衰減得快，隨著時間的推移， 暫態分量最終衰減到零， ess=0。 ns ???21，tntntss nnnnn etteeLtc????? ?? ????? ???????? )1(11][)( 1)(122自控系統的基本概念 自控系統的數學描述 時域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統的校正 非線性系統的分析 自動控制原理 ③零阻尼 (ξ=0)時的單位階躍響應（ ） c(t)=1cosωnt 響應的 穩態分量為 1 ； 暫態分量為余弦函數 ，整個響應曲線以 ωn為角頻率的等幅振蕩 。 js n???21，④ 欠阻尼 (0ξ1)時的單位階躍響應（ ） 穩態分量為 1 ， 暫態分量 為振幅隨時間按負指數規律衰減的周期函數，其振蕩角頻率為 ωd，由于 ，可見 ξ的值越大，振幅衰減越快， 最終衰減到零 ， 響應頻率越快 ess=0 。 dnn jjs ?????? ?????? 221 1，)s i n(1 11)( 2 ??? ?? ???? ? tetc dtn(β＝ arccosξ) 自控系統的基本概念 自控系統的數學描述 時域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統的校正 非線性系統的分析 自動控制原理 典型二階系統欠阻尼時的動態性能指標 上升時間 tr 峰值時間 tp 超調量 σ % 調節時間 ts 自控系統的基本概念 自控系統的數學描述 時域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統的校正 非線性系統的分析 自動控制原理 已知某單位負反饋系統的開環傳函為： 設系統的輸入量為單位階躍函數，試計算放大器的增益 KA=200時，系統輸出響應的動態性能指標。若 KA增大到1500或減小到 ，求系統的動態性能指標。 解： 系統的閉環傳遞函數為 stnp 2 ??? ??? %13% 21/ ?? ?? ???? e1. KA=200時，代入上式求得： ωn＝ ； ξ＝ ，代入二階欠阻尼系統動態性能指標的計算公式，可得： 2. KA=1500時，求得： ωn＝ ； ξ＝ ，同理可求得動態指標： stnp 2 ??? ??? %% 21/ ?? ?? ???? e3. KA=，得： ωn=； ξ＝ 1，此時系統為過阻尼情況，峰值時間和超調量不存在，而調節時間為： =200時 =1500時 KA= 自控系統的基本概念 自控系統的數學描述 時域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統的校正 非線性系統的分析 自動控制原理 二階系統性能的改善 系統超調大的原因是在系統響應接近穩態值時，積累的速度過快而使超調過大，為了減小超調，抑制振蕩可以引入一個與速度有關的負反饋，適當地壓低速度，從而提高平穩性。兩種常用的改善系統性能的方法是引入輸出量的速度反饋控制或者采用誤差信號的比例 微分控制。 輸出量的速度反饋控制 誤差信號的比例 微分控制 n?① 速度反饋的開環增益降低 會加大系統在斜坡輸入時的穩態誤差。 ② 速度反饋不影響系統的自然頻率 。 ③ 可增大系統的阻尼比 。 ④ 速 度 反饋不形成閉環零點 。 ntt K ??? 21??)(2 tnn KK ?? ???① 適當選擇開環增益，以使系統在斜坡輸入時的穩態誤差減小，單位階躍輸入時有滿意的動態性能。 ② 比例－微分控制不影響系統的自然頻率 。 ③ 由于阻尼比 ，可通過適當選擇微分時間常數改變 阻尼的大小。 ④ 由于微分時對噪聲有放大作用 (高頻噪聲 )，所以輸入噪聲大時，不宜采用 。 n???2nK?ndd T ??? 21?? 自控系統的基本概念 自控系統的數學描述 時域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統的校正 非線性系統的分析 自動控制原理 控制系統的穩定性分析 穩定的基本概念 線性系統的穩定性取決于系統的固有特征（結構、參數），與系統的輸入信號無關 。穩定性是系統的固有特性，是擾動消失后系統自身的恢復能力。 對線性定常系統，當輸入為零時，輸出為零的點為其唯一的平衡點。當系統輸入信號為零時， 在非零初始條件作用下，如果系統的輸出信號隨時間的推移而趨于零，即系統能夠自行回到平衡點，則稱該線性定常系統是穩定的 。或者說，如果線性定常系統時間響應中的初始條件分量（零輸入響應）趨于零，則系統是穩定的，否則系統是不穩定的 。 自控系統的基本概念 自控系統的數學描述 時域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統的校正 非線性系統的分析 自動控制原理 控制系統的穩定性分析 穩定的充分必要條件 ? 任何一個 系統的輸出都可以表達為： 其中： M(S)稱為輸入端算子式； D(S)稱為輸出端算子式； M0(S)是與系統初態有關的多項式。 ? C(S)可以展開為： 其中： Si為 D(S)之根， Srj為之根 R(S)之根 ， Ai0、 Bj、 Ci為待定系數。 ? 系統響應 C(t)為： ?? ?ti tc 0)(lim 綜合上述分析可得出 線性系統穩定的充要條件為 ： 系統的所有特征根具有負實部，或者說所有特征根位于 [s]平面的左半面，即 Re[si]0 )()()()()()( 0sDsMsRsDsMsC ?? 第一、二項 (穩態分量 )為 零狀態響應 ；第三項為初始狀態作用下的 零輸入響應 。根據穩定的定義可知，線性定常系統的穩定性是由零輸入響應所決定的。因此 要系統穩定 ，只需 零輸入響應漸近為零 。 自控系統的基本概念 自控系統的數學描述 時域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統的校正 非線性系統的分析 自動控制原理 控制系統的穩定性分析 勞斯 (Routh)穩定判據 ? 系統的特征方程 D(S)=a0Sn+ a1Sn1 +……+ an=0 ? 勞斯 (Routh)穩定判據 ① a0.......an0； ② 勞斯陣列 中 第一列元素全部為正 ； ③ 勞斯陣列第一列中出現負數，系統不穩定，且符號改變次數代表正實根的數目。 Sn a0 a2 a4 a6 … … Sn1 a1 a3 a5 a7 … … Sn2 …… … … Sn3 …… …… … … Sn4 …… …… … … … …… …… …… …… … … S0 …… …… …… …… … … 11 3021 baaaaa ??31 0610 ba aaa ???215041 ba aaaa ??11 2131 cbbaab ??21 3151 cbbaab ??11 2121 dccbbc ??21 1310 dc bbc ???? 勞斯陣列的編制方法 特征方程的系數 自控系統的基本概念 自控系統的數學描述 時域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統的校正 非線性系統的分析 自動控制原理 控制系統的穩定性分析 代數穩定判據的應用 02233 234 ????? ssss 判別系統穩定性 例如 某系統的特征方程為 試判定系統的穩定性。 解： 勞斯陣列如下 0 0 2 0 0 1 3 2 0 2 3 S4 S3 S2 S1 S0 23 0123 ????373 2133 ????743723237?????由于勞斯陣列第一列元素不全為正，因此由勞斯穩定判據系統不穩定。第一列元素符號由 7/3變為 4/7，再由 4/7變為 2，即改變次數為兩次。因此由勞斯穩定判據還可以得出系統特征方程的特征根有兩個位于 s的右半平面。 分析系統參數變化對穩定性影響 利用代數穩定判據可確定系統個別參數變化對穩定性的影響，以及為使系統穩定，這些參數應取值的范圍。若討論的參數為開環放大倍數，使系統穩定的開環放大倍數的臨界值稱為臨界放大倍數。 自控系統的基本概念 自控系統的數學描述 時域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統的校正 非線性系統的分析 自動控制原理 控制系統的穩定性分析 S3 S2 S1 S0 1 40 K 14 K 設單位負反饋系統的開環傳為 試求保證閉環系統 穩定的開環增益 K的可調范圍。 解 系統的閉環傳函為 由此可得閉環系統的特征方程式為 D(s)=s3+14s2+40s+K=0 根據穩定條件： ， K＞ 0 得： 0＜ K＜ 560 自控系統的基本概念 自控系統的數學描述 時域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統的校正 非線性系統的分析 自動控制原理 穩態誤差 定義為穩定系統誤差的終值，用 ess表示，即 。它是衡量系統最終控制精度的重要性能指標。 控制系統的穩態誤差分析 誤差與穩態誤差 G1(s) G2(s) H(s) c(t) n(t) r(t) b(t) e(t) 系統 誤差 定義為 e(t)=r(t)b(t) r(t)相當于代表希望值的指令輸入，而 b(t)相當于被控量 c(t)的測量值（且 b(t)與 r(t)同量綱）， H(s)為檢測元件 系統典型結構圖 自控系統的基本概念 自控系統的數學描述 時域分析法 根軌跡分析法 頻域分析法 控制系統的校正 非線性系統的分析 自動控制原理 控制系統的穩態誤差分析 穩態誤差的計算 如果系統的誤差的拉氏變換 E(s)在 [s]的右半面及除原點外的虛軸上沒有極點，則其穩態誤差可用拉氏變換的終值定理進行求解： 令系統對輸入指令的誤差傳遞函數 Фer(s)和系統對干擾的誤差傳遞函數 Фen(s)分別為 則可將誤差表示為： 自控系統的基本概念 自控系統的數學描述 時域分析