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2026-04-26 08:14本頁面

　　

【正文】數的微分 .)( xdxfyd ??量微分之商，等于函數的微分與自變導數 dxdy)5(又稱為 “微商”， dy 與 dx 是獨立的。例題討論例 1：及當求 1,012 ?????? xxxxy解： )()( xfxxfy ?????)0()10( ff ??? )1(1( ???? = 0 ； ,)12( xxxyyd ?????? ,10 ??? ?xy.11)1( ?????yd時的增量與微分。?? x(1) (2) )0()( ffy ????)1( ???? 000 ??.)1( ?????yd例 2：時的微分。在求 exxxxy ???? 75ln例 3：的微分。求 )1(t a n 2 ?? xy解：解： ,6ln ??? xy? ,76ln ???? ? ey ex.7 xdyd ??),1(se c2 22 ??? xxy?.)1(se c2 22 xdxxyd ???二、微分的基本微分公式與運算法則 1. 基本微分公式參見 2. 四則運算法則設 u(x), v(x) 可微， ,)( vdudvud ??? ,)( udCuCd ?(C:常數 ) ,)( vduudvvud ?? .)( 2vvduudvvud ??，對參數方程?????)()(tytx??)()(tdtdxdyd???tdtdt)()??? .)()(tt?????由微分公式也可得 3. 復合函數的微分法則的微分則設 )]([,)(,)( xfyxuufy ?? ???)( ufyd ?? xdx )(? ??ududuf )(?????xdydxdy x??udy u?? 無論變量是自變量還是中間變量，其微分形式都保持不變，微分的這種性質稱為一階微分形式的不變性。例 1： .,2s i n ydey x 求利用微分公式?)( 2s i n xedyd ?)(c o s 22s i n 2 xdxe x?.c o s2 2s i n 2 xdxex x?例 2：填空： .2s i n)()( xdxdd ??x2sin C? Cx ?? 2c o s21)( s i n 2i n 2 xde x?解：三、微分的幾何意義與應用曲線 y = f (x) , x y 0 M0 . M . xx ??0dxx ??y??T x0 y = f (x) ? yd△ y是函數在曲線 M0點處縱坐標上的增量； dy是函數在 M0點處的切線縱坐標上的增量。 P Q M0Q = △ x , MQ = △ y , QMPQdxdy0t a n ?? ?∴ dy = PQ )0(,)( ??????? xxoydyMPMMPMM 000 代替曲線段附近可用切線段在點xxfxfxxf ??????? )()()( 000xxfxfxxf ??????? )()()( 000ydyx ??? 很小時，又由于則有令 ,00 xxxxxx ???????))(()()( 000 xxxfxfxf ????右式即為 f (x) 的一階近似式。特別，取 x0 = 0 , 有 .)0()0()( xffxf ???例：利用微分求 e 的近似值。解： ,)( xexf ?設 ,00 ??? xx取)( fe ? )0()0( ?????? ff?課外作業習題集 2 –7 3（ 4， 5， 6, 10)、 4 1, 2（做在書上）， 4， 5（ 2）， 6， 7（ 4）， 9（ 2）， 10， 11（ 1）， 12 總復習題習題集 2 – 8 6, 7(2), 10(1), 13, 15

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