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證明不等式的基本方法章末復習方案課件人教a選修-資料下載頁

2026-05-16 22:12本頁面

　　

【正文】 c2＋ d2＝ 1，求證： |ac＋ bd|≤1. 證明：法一 ( 綜合法 ) ：因為 a ， b ， c ， d 都是實數，所以| ac ＋ bd |≤ | ac |＋ | bd |≤a2＋ c22＋b2＋ d22 ＝a2＋ b2＋ c2＋ d22. 又因為 a2＋ b2＝ 1 ， c2＋ d2＝ 1 ，所以 | ac ＋ bd |≤ 1. 法二 ( 比較法 ) ：顯然有 | ac ＋ bd |≤ 1 ? － 1 ≤ ac ＋ bd ≤ 1. 先證明 ac ＋ bd ≥ － 1. ∵ ac ＋ bd － ( － 1) ＝ ac ＋ bd ＋12＋12 ＝ ac ＋ bd ＋a2＋ b22＋c2＋ d22＝? a ＋ c ?2＋ ? b ＋ d ?22≥ 0. ∴ ac ＋ bd ≥ － 1. 再證明 ac ＋ bd ≤ 1. ∵ 1 － ( ac ＋ bd ) ＝12＋12－ ( ac ＋ bd ) ＝a2＋ b22＋c2＋ d22－ ac － bd ＝? a － c ?2＋ ? b － d ?22≥ 0 ， ∴ ac ＋ bd ≤ 1. 綜上得 | ac ＋ bd |≤ 1. 法三 (分析法 )：要證 |ac＋ bd|≤1，只需證明 (ac＋ bd)2≤1. 即只需證明 a2c2＋ 2abcd＋ b2d2≤1. ① 由于 a2＋ b2＝ 1， c2＋ d2＝ 1，因此①式等價于 a2c2＋ 2abcd＋ b2d2≤(a2＋ b2)(c2＋ d2)， ② 將②式展開、化簡，得 (ad－ bc)2≥0. ③ 因為 a， b， c， d都是實數，所以③式成立，即①式成立．原命題得證． 11 ． ( 創新預測 ) 已知 a 、 b 、 c 為三角形的三條邊，求證：以a1 ＋ a， b1 ＋ b，c1 ＋ c為邊也可以構成一個三角形．證明： ( 放縮法 ) 設 f ( x ) ＝x1 ＋ x， x ∈ (0 ，＋ ∞ ) ，設 0 x1 x2，則 f ( x2) － f ( x1) ＝x21 ＋ x2－x11 ＋ x1＝x2－ x1? 1 ＋ x1?? 1 ＋ x2?＞ 0 ，故 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上為增函數． ∵ a 、 b 、 c 為三角形的三條邊，于是 a ＋ b ＞ c ， ∴c1 ＋ c＜a ＋ b1 ＋ ? a ＋ b ?＝a1 ＋ a ＋ b＋b1 ＋ a ＋ b ＜a1 ＋ a＋b1 ＋ b，即c1 ＋ c＜a1 ＋ a＋b1 ＋ b，同理：b1 ＋ b＜a1 ＋ a＋c1 ＋ c， a1 ＋ a＜b1 ＋ b＋c1 ＋ c. ∴ 以a1 ＋ a，b1 ＋ b，c1 ＋ c為邊可以構成一個三角形．點擊下圖片進入 :

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