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高中數學必勝秘籍之函數知識點總結-資料下載頁

2026-05-21 22:32本頁面

　　

【正文】對任意值x，判斷f（x）值的符號.分析：（1）令x= y＝0；（2）令y＝x≠0.例5是否存在函數f（x），使下列三個條件：①f（x）0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，說明理由.分析：先猜出f（x）＝2x；再用數學歸納法證明.例6設f（x）是定義在（0，＋∞）上的單調增函數，滿足f（xy）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：（1） f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范圍.分析：（1）利用3＝13；（2）利用函數的單調性和已知關系式.例7設函數y＝ f（x）的反函數是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）g（b）是否正確，試說明理由.分析：設f（a）＝m，f（b）＝n，則g（m）＝a，g（n）＝b，進而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]….例8已知函數f（x）的定義域關于原點對稱，且滿足以下三個條件：① xx2是定義域中的數時，有f（x1－x2）＝；② f（a）＝－1（a＞0，a是定義域中的一個數）；③ 當0＜x＜2a時，f（x）＜0. 試問：（1） f（x）的奇偶性如何？說明理由；（2）在（0，4a）上，f（x）的單調性如何？說明理由. 分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝－f [（x1－x2）]，判定f（x）是奇函數；（3）先證明f（x）在（0，2a）上是增函數，再證明其在（2a，4a）上也是增函數. 對于抽象函數的解答題，雖然不可用特殊模型代替求解，，針對不同的函數要進行適當變通，去尋求特殊模型，從而更好地解決抽象函數問題. 例9已知函數f（x）（x≠0）滿足f（xy）＝f（x）＋f（y），（1）求證：f（1）＝f（－1）＝0；（2）求證：f（x）為偶函數；（3）若f（x）在（0，＋∞）上是增函數，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.分析：函數模型為：f（x）＝loga|x|（a＞0）（1）先令x＝y＝1，再令x＝y＝－1；（2）令y＝－1；（3）由f（x）為偶函數，則f（x）＝f（|x|）.例10已知函數f（x）對一切實數x、y滿足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且當x＜0時，f（x）＞1，求證：（1）當x＞0時，0＜f（x）＜1；（2） f（x）在x∈R上是減函數.分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；（3）受指數函數單調性的啟發：由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝，進而由x1＜x2，有＝f（x1－x2）＞1.練習題：：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）對任意實數x、y都成立，則（）（A）f（0）＝0 （B）f（0）＝1 （C）f（0）＝0或1 （D）以上都不對2. 若對任意實數x、y總有f（xy）＝f（x）＋f（y），則下列各式中錯誤的是（）（A）f（1）＝0 （B）f（）＝ f（x）（C）f（）＝ f（x）－f（y）（D）f（xn）＝nf（x）（n∈N）（x）對一切實數x、y滿足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且當x＜0時，f（x）＞1，則當x＞0時，f（x）的取值范圍是（）（A）（1，＋∞）（B）（－∞，1）（C）（0，1）（D）（－1，＋∞）（x）定義域關于原點對稱，且對定義域內不同的xx2都有f（x1－x2）＝，則f（x）為（）（A）奇函數非偶函數（B）偶函數非奇函數（C）既是奇函數又是偶函數（D）非奇非偶函數（x）對任意實數x、y滿足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，則函數f（x）是（）（A）奇函數非偶函數（B）偶函數非奇函數（C）既是奇函數又是偶函數（D）非奇非偶函數參考答案：1．A2．B3．C4．A5．B23. 你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為α，半徑為R的弧長公式和扇形面積公式嗎？ (和三角形的面積公式很相似， )22

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