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一元二次方程應用題經典題型匯總含答案-資料下載頁

2026-06-09 23:26本頁面

　　

【正文】＝在下底邊BC上，點F在腰AB上.（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長，設BE長為x，試用含x的代數式表示△BEF的面積；（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由；（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1∶2的兩部分？若存在，求此時BE的長；若不存在，請說明理由.解（1）由已知條件得，梯形周長為12，高4，面積為28.過點F作FG⊥BC于G，過點A作AK⊥BC于K.則可得，FG＝4，所以S△BEF＝BEFG＝－x2+x（7≤x≤10）.（2）（1）得－x2+x＝14，解這個方程，得x1＝7，x2＝5（不合題意，舍去），所以存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長與面積同時平分，此時BE＝7.（3），顯然有S△BEF∶S多邊形AFECD ＝1∶2，即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶－x2+x＝，整理，得3x2－24x+70＝0，此時的求根公式中的b2－4ac＝576－840＜0，∶2的兩部分.說明　求解本題時應注意：一是要能正確確定x的取值范圍；二是在求得x2＝5時，并不屬于7≤x≤10，應及時地舍去；三是處理第（3）個問題時的實質是利用一元二次方程來探索問題的存在性.十五、利用圖形探索規律例15　在如圖8中，每個正方形有邊長為1 的小正方形組成：圖8（1）觀察圖形，請填寫下列表格：正方形邊長1357…n（奇數）黑色小正方形個數…正方形邊長2468…n（偶數）黑色小正方形個數…（2）在邊長為n（n≥1）的正方形中，設黑色小正方形的個數為P1，白色小正方形的個數為P2，問是否存在偶數n，使P2＝5P1？若存在，請寫出n的值；若不存在，請說明理由.解（1）觀察分析圖案可知正方形的邊長為…、n 時，黑色正方形的個數為12n－1（奇數）；正方形的邊長為…、n 時，黑色正方形的個數為112n（偶數）.（2）由（1）可知n為偶數時P1＝2n，所以P2＝n2－，得n2－2n＝52n，即n2－12n＝0，解得n1＝12，n2＝0（不合題意，舍去）.所以存在偶數n＝12，使得P2＝5P1.說明　本題的第（2）小問是屬于存在性問題，求解時，可以先假設結論存在，進而從中找到數量關系，使問題獲解.綜上所言，列一元二次方程解應用題是列一元一次方程、二元一次方程組解應用題的延續和發展，列方程解應用題就是先把實際問題抽象為方程模型，：找出未知量與已知量之間的聯系，從而將實際問題轉化為方程模型，要善于將普通語言轉化為代數式，在審題時，要特別注意關鍵詞語，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超過、剩余、增加、減少”等等，此外，還要掌握一些常用的公式或特殊的等量關系，如特殊圖形的面積公式、行程問題、工程問題、增長率問題中的一些特殊關系等等.

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