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大學(xué)線性代數(shù)練習(xí)試題及答案-資料下載頁(yè)

2026-06-12 23:03本頁(yè)面

　　

【正文】最大線性無(wú)關(guān)組，故A的第4列是A的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組。（A的第5列或4列，或5列也是）=1的2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為ξ1=（2，1，0）T， ξ2=（2，0，1）T.經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化，得η1=，η2=.λ=8的一個(gè)特征向量為ξ3=，經(jīng)單位化得η3=所求正交矩陣為T(mén)=.對(duì)角矩陣D=（也可取T=.）(x1，x2，x3)=（x1+2x22x3）22x22+4x2x37x32=（x1+2x22x3）22（x2x3）25x32.設(shè)，即，因其系數(shù)矩陣C=可逆，故此線性變換滿(mǎn)秩。經(jīng)此變換即得f(x1，x2，x3)的標(biāo)準(zhǔn)形 y122y225y32 .四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）（EA）（E+A+A2）=EA3=E，所以EA可逆，且（EA）1= E+A+A2 .=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2個(gè)解。（2）考慮l0η0+l1η1+l2η2=0，即（l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.則l0+l1+l2=0，否則η0將是Ax=0的解，矛盾。所以l1ξ1+l2ξ2=0. 又由假設(shè)，ξ1，ξ2線性無(wú)關(guān)，所以l1=0，l2=0，從而l0=0 .所以η0，η1，η2線性無(wú)關(guān)。7

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