高鴻業教授主編的西方經濟學(第五版)的配套習題答案-資料下載頁
2026-06-13 01:04本頁面
【正文】 ) MPK＝eq \f(L(K＋L)－KL,(K＋L)2)＝eq \f(L2,(K＋L)2)由最優要素組合的均衡條件eq \f(MPL,MPK)＝eq \f(PL,PK)，可得 eq \f(K2/(K＋L)2,L2/(K＋L)2)＝eq \f(PL,PK)整理得 eq \f(K2,L2)＝eq \f(PL,PK)即廠商長期生產的擴展線方程為 K＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PL,PK)))eq \f(1,2)L(c)關于生產函數Q＝KL2。 MPL＝2KL MPK＝L2由最優要素組合的均衡條件eq \f(MPL,MPK)＝eq \f(PL,PK)，可得 eq \f(2KL,L2)＝eq \f(PL,PK)即廠商長期生產的擴展線方程為 K＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PL,2PK)))L(d)關于生產函數Q＝min(3L， K)。由于該函數是固定投入比例的生產函數，即廠商的生產總有3L＝K，所以，直接可以得到廠商長期生產的擴展線方程為K＝3L。(2)(a)關于生產函數Q＝5Leq \f(1,3)Keq \f(2,3)。當PL＝1，PK＝1，Q＝1 000時，由其擴展線方程K＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2PL,PK)))L得 K＝2L代入生產函數Q＝5Leq \f(1,3)Keq \f(2,3)得 5Leq \f(1,3)(2L)eq \f(2,3)＝1 000于是，有L＝eq \f(200,\r(3,4))，K＝eq \f(400,\r(3,4))。(b)關于生產函數Q＝eq \f(KL,K＋L)。當PL＝1，PK＝1，Q＝1 000時，由其擴展線方程K＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PL,PK)))eq \f(1,2)L得 K＝L代入生產函數Q＝eq \f(KL,K＋L)，得 eq \f(L2,L＋L)＝1 000于是，有L＝2 000，K＝2 000。(c)關于生產函數Q＝KL2。當PL＝1，PK＝1，Q＝1 000時，由其擴展線方程K＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PL,2PK)))L得 K＝eq \f(1,2)L代入生產函數Q＝KL2，得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2)))L2＝1 000于是，有L＝10eq \r(3,2)，K＝5eq \r(3,2)。(d)關于生產函數Q＝min{3L， K}。當PL＝1，PK＝1，Q＝1 000時，將其擴展線方程K＝3L，代入生產函數，得 K＝3L＝1 000于是，有K＝1 000，L＝eq \f(1 000,3)。11. 已知生產函數Q＝AL1/3K2/3。判斷：(1)在長期生產中，該生產函數的規模報酬屬于哪一種類型？(2)在短期生產中，該生產函數是否受邊際報酬遞減規律的支配？解答：(1)因為Q＝f(L，K)＝ALeq \f(1,3)Keq \f(2,3)， 于是有 f(λL，λK)＝A(λL)eq \f(1,3)(λK)eq \f(2,3)＝Aλeq \f(1,3)＋eq \f(2,3)Leq \f(1,3)Keq \f(2,3)＝λALeq \f(1,3)Keq \f(2,3)＝λf(L，K)所以，生產函數Q＝ALeq \f(1,3)Keq \f(2,3)屬于規模報酬不變的生產函數。(2)假定在短期生產中，資本投入量不變，以eq \o(K,\s\up6(－))表示；而勞動投入量可變，以L表示。對于生產函數Q＝ALeq \f(1,3)eq \o(K,\s\up6(－))－eq \f(2,3)，有 MPL＝eq \f(1,3)AL－eq \f(2,3)eq \o(K,\s\up6(－))－eq \f(2,3)且 eq \f(dMPL,dL)＝－eq \f(2,9)AL－eq \f(5,3)eq \o(K,\s\up6(－))－eq \f(2,3)＜0這表明：在短期資本投入量不變的前提下，隨著一種可變要素勞動投入量的增加，勞動的邊際產量MPL是遞減的。類似地，假定在短期生產中，勞動投入量不變，以eq \o(L,\s\up6(－))表示；而資本投入量可變，以K表示。對于生產函數Q＝Aeq \o(L,\s\up6(－))eq \f(1,3)Keq \f(2,3)，有 MPK＝eq \f(2,3)Aeq \o(L,\s\up6(－))eq \f(1,3)K－eq \f(1,3)且 eq \f(dMPK,dK)＝－eq \f(2,9)Aeq \o(L,\s\up6(－))eq \f(1,3)K－eq \f(4,3)＜0這表明：在短期勞動投入量不變的前提下，隨著一種可變要素資本投入量的增加，資本的邊際產量MPK是遞減的。以上的推導過程表明該生產函數在短期生產中受邊際報酬遞減規律的支配。12. 令生產函數f(L，K)＝α0＋α1(LK)eq \f(1,2)＋α2K＋α3L，其中0≤αi≤1，i＝0,1,2,3。(1)當滿足什么條件時，該生產函數表現出規模報酬不變的特征。(2)證明：在規模報酬不變的情況下，相應的邊際產量是遞減的。解答：(1)根據規模報酬不變的定義 f(λL，λK)＝λf(L，K) (λ＞0)于是有 f(λL，λK)＝α0＋α1[(λL)(λK)]eq \f(1,2)＋α2(λK)＋α3(λL) ＝α0＋λα1(LK)eq \f(1,2)＋λα2K＋λα3L ＝λ[α0＋α1(LK)eq \f(1,2)＋α2K＋α3L]＋(1－λ)α0 ＝λf(L，K)＋(1－λ)α0由上式可見，當α0＝0時，對于任何的λ＞0，有f(λL， λK)＝λf(L， K)成立，即當α0＝0時，該生產函數表現出規模報酬不變的特征。(2)在規模報酬不變，即α0＝0時，生產函數可以寫成 f(L，K)＝α1(LK)eq \f(1,2)＋α2K＋α3L相應地，勞動與資本的邊際產量分別為 MPL(L，K)＝eq \f(?f(L，K),?L)＝eq \f(1,2)α1L－eq \f(1,2)Keq \f(1,2)＋α3 MPK(L，K)＝eq \f(?f(L，K),?K)＝eq \f(1,2)α1Leq \f(1,2)K－eq \f(1,2)＋α2而且有 eq \f(?MPL(L，K),?L)＝eq \f(?2f(L，K),?L2)＝－eq \f(1,4)α1L－eq \f(3,2)Keq \f(1,2) eq \f(?MPK(L，K),?K)＝eq \f(?2f(L，K),?K2)＝－eq \f(1,4)α1Leq \f(1,2)K－eq \f(3,2)顯然，勞動和資本的邊際產量都是遞減的。13. 已知某企業的生產函數為Q＝Leq \f(2,3)Keq \f(1,3)，勞動的價格w＝2，資本的價格r＝1。求：(1)當成本C＝3 000時，企業實現最大產量時的L、K和Q的均衡值。(2)當產量Q＝800時，企業實現最小成本時的L、K和C的均衡值。解答：(1)根據企業實現給定成本條件下產量最大化的均衡條件 eq \f(MPL,MPK)＝eq \f(w,r)其中 MPL＝eq \f(dQ,dL)＝eq \f(2,3)L－eq \f(1,3)Keq \f(1,3) MPK＝eq \f(dQ,dK)＝eq \f(1,3)Leq \f(2,3)K－eq \f(2,3) w＝2 r＝1于是有 eq \f(2,3)L－eq \f(1,3)Keq \f(1,3),eq \f(1,3)Leq \f(2,3)K－eq \f(2,3))＝eq \f(2,1)整理得 eq \f(K,L)＝eq \f(1,1)即 K＝L再將K＝L代入約束條件2L＋1K＝3 000，有 2L＋L＝3 000解得 L*＝1 000且有 K*＝1 000將L*＝K*＝1 000代入生產函數，求得最大的產量 Q*＝(L*)eq \f(2,3)(K*)eq \f(1,3)＝1 000eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)＝1 000本題的計算結果表示：在成本C＝3 000時，廠商以L*＝1 000，K*＝1 000進行生產所達到的最大產量為Q*＝1 000。此外，本題也可以用以下的拉格朗日函數法來求解。 eq \o(max,\s\do4(L，K))Leq \f(2,3)Keq \f(1,3) . 2L＋1K＝3 000 L(L，K，λ)＝Leq \f(2,3)Keq \f(1,3)＋λ(3 000－2L－K)將拉格朗日函數分別對L、K和λ求偏導，得極值的一階條件 eq \f(?L,?L)＝eq \f(2,3)L－eq \f(1,3)Keq \f(1,3)－2λ＝0(1) eq \f(?L,?K)＝eq \f(1,3)Leq \f(2,3)K－eq \f(2,3)－λ＝0(2) eq \f(?L,?λ)＝3 000－2L－K＝0(3)由式(1)、式(2)可得 eq \f(K,L)＝eq \f(1,1)即 K＝L將K＝L代入約束條件即式(3)，可得 3 000－2L－L＝0解得 L*＝1 000且有 K*＝1 000再將L*＝K*＝1 000代入目標函數即生產函數，得最大產量 Q*＝(L*)eq \f(2,3)(K*)eq \f(1,3)＝1 000eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)＝1 000在此略去關于極大值的二階條件的討論。(2)根據廠商實現給定產量條件下成本最小化的均衡條件 eq \f(MPL,MPK)＝eq \f(w,r)其中 MPL＝eq \f(dQ,dL)＝eq \f(2,3)L－eq \f(1,3)Keq \f(1,3) MPK＝eq \f(dQ,dK)＝eq \f(1,3)Leq \f(2,3)K－eq \f(2,3) w＝2 r＝1于是有 eq \f(2,3)L－eq \f(1,3)Keq \f(1,3),eq \f(1,3)Leq \f(2,3)K－eq \f(2,3))＝eq \f(2,1)整理得 eq \f(K,L)＝eq \f(1,1)即 K＝L再將K＝L代入約束條件Leq \f(2,3)Keq \f(1,3)＝800，有 Leq \f(2,3)Leq \f(1,3)＝800解得 L*＝800且有 K*＝800將L*＝K*＝800代入成本方程2L＋1K＝C，求得最小成本 C*＝2800＋1800＝2 400本題的計算結果表示：在Q＝800時，廠商以L*＝800，K*＝800進行生產的最小成本為C*＝2 400。此外，本題也可以用以下的拉格朗日函數法來求解。 mieq \o(n,\s\do4(L，K))2L＋K . Leq \f(2,3)Keq \f(1,3)＝800 L(L，K，μ)＝2L＋K＋μ(800－Leq \f(2,3)Keq \f(1,3))將拉格朗日函數分別對L、K和μ求偏導，得極值的一階條件 eq \f(?L,?L)＝2－eq \f(2,3)μL－eq \f(1,3)Keq \f(1,3)＝0(1) eq \f(?L,?K)＝1－eq \f(1,3)μLeq \f(2,3)K－eq \f(2,3)＝0(2) eq \f(?L,?μ)＝800－Leq \f(2,3)Keq \f(1,3)＝0(3)由式(1)、式(2)可得 eq \f(K,L)＝eq \f(1,1)即 K＝L將K＝L代入約束條件即式(3)，有 800－Leq \f(2,3)Leq \f(1,3)＝0解得 L＝800且有 K＝800再將L*＝K*＝800代入目標函數即成本等式，得最小的成本 C＝2L＋1K＝2800＋1800＝2 400在此略去關于極小值的二階條件的討論。14. 畫圖說明廠商在既定成本條件下是如何實現最大產量的最優要素組合的。圖4—3解答：以圖4—3為例，要點如下：(1)由于本題的約束條件是既定的成本，所以，在圖4—3中，只有一條等成本線AB；此外，有三條等產量曲線QQ2和Q3以供分析，并從中找出相應的最大產量水平。(2)在約束條件即等成本線AB給定的條件下，先看等產量曲線Q3，該曲線處于AB線以外，與AB線既無交點又無切點，所以，等產量
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