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小波分析理論簡介-資料下載頁

2026-06-13 21:22本頁面

　　

【正文】量空間的一組基，就可以對任一M 維向量進行分解，找出在這組基下的坐標。只要認準被分解的對象是M 維向量空間的一個向量，而不是再看做或中向量的坐標。這樣，在小波分解中，不僅得到各頻率水平的坐標可按原來的步驟和方法進行分解，而且得到的各頻率水平的坐標也可按向量分解的理論進行再分解，并且分解的步驟和方法可以和對坐標進行再分解的完全一樣?？赡苡腥藭a生疑問：前面講到， = ，現在中的向量怎么又變成中的向量呢？其實，這里使用了“移花接木”的技巧。我們現在是對中的向量分解，這是千真萬確的。但，是通過對其坐標的分解來實現的。也就是說，要求的是等于什么？而不是中的向量等于什么？中的向量等于 = （76）既然要求的是等于什么，而不是等于什么，不妨“移花接木”一下，把拿來，虛構中一向量， = （77）不就可以對進行分解了嗎？反正在分解過程中，使用的是、，求的是新的和，而根本就不出現，管它是什么樣子呢！只要保證分解后低頻與高頻分離即可。既然分解，低頻與高頻能分離，那么，分解，同樣低頻與高頻可以分離的。其實從（74）式中兩個矩陣、的組成，都是兩尺度序列、中的數，仔細分析一下，不難看出，中的列相當于低階振型，中的列相當于高階振型。以后的工作和小波包的分解類似，只不過這里是直和分解，不是正交分解罷了。前面曾提到，小波分解的第一步，將投影到上（見公式（48））。由于投影到上求小波系數要解方程，很費時間，所以，好多書上都說，可以近似地把原始數據作為小波系數，誤差不大。用向量分解小波包的理論來看，這并非是近似的，而是精確的！事實上，使用上面“移花接木”的技巧，虛構中一向量 = （78）是原始數據組成的向量。那末，不就是中的向量的坐標嗎？只要對它進行分解與重構就得了，而且，重構后，也用不著通過（78）式求，重構得到的，就是原始數據組成的向量，兩頭省！當然，我并非反對投影，而且在捕捉突變奇異信號時，最靈敏的方法是利用導數確定，投影到上先求出作為的中的向量的坐標，能得到快速的求導方法。但這是另外的問題了。有了向量分解小波包新理論，可以在分解過程中，把各種小波組合到一起，例如，求時，可以用三次樣條小波，這樣確保濾波重構不失真、求導精度高的長處，在分解的時候，可使用正交分解的分解序列系數，以提高分解效率。這樣，上帝雖然沒有將“四合一”的小波函數“直接”恩賜給人類，但還是間接地恩賜給人類了。我們研制的小波包信號處理軟件，具有三種小波包分解、分解后各頻率水平的分析、64 種濾波重構功能及重構后的傅立葉變換和奇異信號大小分析功能。三種小波包分別是“向量分解小波包”、“雙正交小波包”和“Daubechies正交小波包”。通過實例對比，向量分解小波包分析效果遠比后者好，而且分解速度相當快，4096個點，分解所花 CPU 秒。具體實例見后。圖一原始實測數據（4096=個點）圖二原始實測數據中疊加上一個低頻低幅正弦拍波圖三檢測到的正弦拍波曲線圖四檢測到的正弦拍波曲線（三次樣條小波）與（使用向量分解小波包）圖五檢測到的正弦拍波曲線（使用雙正交小波包）圖六檢測到的正弦拍波曲線（使用Daubechies正交小波包）（五）結論 1 根據傅立葉變換的理論，在一定的條件下，一個周期函數可以表示為傅立葉級數。傅立葉理論不僅在數學上有很大的理論價值，更重要的是傅立葉變換或傅立葉積分得到的頻譜信息在許多情況下，具有實際的物理意義，所以傅立葉變換得到了廣泛的應用。但是，這種理論具有一定的局限性：（1）傅立葉變換的三種形式中的傅立葉系數是不隨時間變化的常數，因而只能處理頻譜成分不變的平穩信號。在處理非平穩信號時會帶來很大誤差、得到的數學頻譜與實際的物理頻譜可能會有很大的差別。（2）由于正弦函數、余弦函數是整個時間軸上的函數，導致傅立葉系數是全時間域上的加權平均，處理、捕捉突變信號，靈敏度很差。（3）加窗傅立葉變換雖然作了改進，但是，由于時間窗是固定不變的，高頻與低頻的時間局部化不能同時滿足。2 小波分析從理論上克服了上述傅立葉變換的三個缺點。由于小波系數隨時間變化，所以，不論是平穩信號還是非平穩信號得到的小波頻譜與實際的物理頻譜，都十分接近。由于小波具有緊支撐的性質，局部突變信息的作用能很好地反映出來，處理、捕捉突變信號，靈敏度很高。小波函數的選擇，對分析結果影響很大。根據不同的用途，應慎重選擇合適的小波函數。目前國內外大多數小波分析軟件，沒有解決第一步的小波系數求解問題，因此，沒有解決離散數據的快速求導、捕捉突變信號、極值與積分問題。3 我們研制的向量分解小波包軟件 XIAOBB，使用的是三次樣條小波函數，它具有階連續、線性相位、緊支撐的性質，濾波不失真，頻譜分析精度高。由于我們使用了巧妙的投影技術，可以快速地求出小波分解第一步所需要的小波系數，從而解決了離散數據的快速求導、捕捉突變信號、極值與積分問題。20

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