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2026-06-14 15:18本頁面

　　

【正文】 (a∈R)．(1)當a＝1時，求f(x)在區間[1，e]上的最大值和最小值；(2)若在區間(1，＋∞)上，函數f(x)的圖像恒在直線y＝2ax下方，求a的取值范圍．解析：(1)當a＝1時，f(x)＝x2＋lnx，f′(x)＝x＋＝.對于x∈[1，e]有f′(x)＞0，∴f(x)在區間[1，e]上為增函數，∴f(x)max＝f(e)＝1＋，f(x)min＝f(1)＝.(2)令g(x)＝f(x)－2ax＝(a－)x2－2ax＋lnx，則g(x)的定義域為(0，＋∞)．在區間(1，＋∞)上，函數f(x)的圖像恒在直線y＝2ax下方等價于g(x)＜0在區間(1，＋∞)上恒成立．∵g′(x)＝(2a－1)x－2a＋＝＝，①若a＞，令g′(x)＝0，得極值點x1＝1，x2＝，當x2＞x1＝1，即＜a＜1時，在(x2，＋∞)上有g′(x)＞0，此時g(x)在區間(x2，＋∞)上是增函數，并且在該區間上有g(x)∈(g(x2)，＋∞)，不符合題意；當x2≤x1＝1，即a≥1時，同理可知，g(x)在區間(1，＋∞)上，有g(x)∈(g(1)，＋∞)，也不符合題意；②若a≤，則有2a－1≤0，此時在區間(1，＋∞)上恒有g′(x)＜0，從而g(x)在區間(1，＋∞)上是減函數．要使g(x)＜0在此區間上恒成立，只需滿足g(1)＝－a－≤0?a≥－，由此求得a的取值范圍是.綜上可知，當a∈時，函數f(x)的圖像恒在直線y＝2ax下方．21．(12分)設函數f(x)＝lnx，g(x)＝ax＋，函數f(x)的圖像與x軸的交點也在函數g(x)的圖像上，且在此點有公共切線．(1)求a，b的值；(2)對任意x＞0，試比較f(x)與g(x)的大小．解析：(1)f(x)＝lnx的圖像與x軸的交點坐標是(1,0)，依題意，得g(1)＝a＋b＝0.①又f′(x)＝，g′(x)＝a－，且f(x)與g(x)在點(1,0)處有公共切線，∴g′(1)＝f′(1)＝1，即a－b＝1.②由①②得，a＝，b＝－.(2)令F(x)＝f(x)－g(x)，則F(x)＝lnx－＝lnx－x＋，∴F′(x)＝－－＝－2≤0.∴F(x)在(0，＋∞)上為減函數．當0＜x＜1時，F(x)＞F(1)＝0，即f(x)＞g(x)；當x＝1時，F(1)＝0，即f(x)＝g(x)；當x＞1時，F(x)＜F(1)＝0，即f(x)＜g(x)．22．(12分)設函數f(x)＝ax3－2bx2＋cx＋4d(a，b，c，d∈R)的圖像關于原點對稱，且x＝1時，f(x)取極小值－.(1)求a，b，c，d的值；(2)當x∈[－1,1]時，圖像上是否存在兩點，使得過兩點處的切線互相垂直？試證明你的結論；(3)若x1，x2∈[－1,1]，求證：|f(x1)－f(x2)|≤.解析：(1)∵函數f(x)的圖像關于原點對稱，∴對任意實數x有f(－x)＝－f(x)，∴－ax3－2bx2－cx＋4d＝－ax3＋2bx2－cx－4d，即bx2－2d＝0恒成立，∴b＝0，d＝0，∴f(x)＝ax3＋cx，f′(x)＝3ax2＋c，∵當x＝1時，f(x)取極小值－，∴3a＋c＝0，且a＋c＝－，解得a＝，c＝－1.(2)當x∈[－1,1]時，圖像上不存在這樣的兩點使結論成立．假設圖像上存在兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，使得過此兩點處的切線互相垂直，則由f′(x)＝x2－1知，兩點處的切線斜率分別為k1＝x12－1，k2＝x22－1，且(x12－1)(x22－1)＝－1.(*)∵x1，x2∈[－1,1]，∴x12－1≤0，x22－1≤0.∴(x12－1)(x22－1)≥0.此與(*)相矛盾，故假設不成立．(3)f′(x)＝x2－1，令f′(x)＝0，得x＝177。1.當x∈(－∞，－1)或x∈(1，＋∞)時，f′(x)＞0，當x∈(－1,1)時，f′(x)＜0，∴f(x)在[－1,1]上是減函數，且f(x)max＝f(－1)＝，f(x)min＝f(1)＝－.∴在[－1,1]上，|f(x)|≤，于是x1，x2∈[－1,1]時，|f(x1)－f(x2)|≤|f(x1)|＋|f(x2)|≤＋＝.

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