邏輯思維題訓練附答案——免費的哦-資料下載頁

　　

【正文】 成一排，給他們每個人頭上戴一頂帽子。每個人都看不見自己戴的帽子的顏色，而且每個人都看得見在他前面所有人頭上帽子的顏色，卻看不見在他后面任何人頭上帽子的顏色。現在從最后那個人開始，問他是不是知道自己戴的帽子顏色，如果他回答說不知道，就繼續問他前面那個人。一直往前問，那么一定有一個人知道自己所戴的帽子顏色。” 當然要假設一些條件： 1)首先，帽子的總數一定要大于人數，否則帽子都不夠戴。 2)“有若干種顏色的帽子，每種若干頂，有若干人”這個信息是隊列中所有人都事先知道的，而且所有人都知道所有人都知道此事，所有人都知道所有人都知道所有人都知道此事，等等等等。但在這個條件中的“若干”不一定非要具體一一給出數字來。 這個信息具體地可以是象上面經典的形式，列舉出每種顏色帽子的數目“有3頂黑帽子，2頂白帽子，3個人”，也可以是“有紅黃綠三種顏色的帽子各1頂2頂3頂，但具體不知道哪種顏色是幾頂，有6個人”，甚至連具體人數也可以不知道，“有不知多少人排成一排，有黑白兩種帽子，每種帽子的數目都比人數少1”，這時候那個排在最后的人并不知道自己排在最后——直到開始問他時發現在他回答前沒有別人被問到，他才知道他在最后。在這個帖子接下去的部分當我出題的時候我將只寫出“有若干種顏色的帽子，每種若干頂，有若干人”這個預設條件，因為這部分確定了，題目也就確定了。 3)剩下的沒有戴在大家頭上的帽子當然都被藏起來了，隊伍里的人誰都不知道都剩下些什么帽子。 4)所有人都不是色盲，不但不是，而且只要兩種顏色不同，他們就能分別出來。當然他們的視力也很好，能看到前方任意遠的地方。他們極其聰明，邏輯推理是極好的。總而言之，只要理論上根據邏輯推導得出來，他們就一定推導得出來。相反地如果他們推不出自己頭上帽子的顏色，任何人都不會試圖去猜或者作弊偷看——不知為不知。 5)后面的人不能和前面的人說悄悄話或者打暗號。 當然，不是所有的預設條件都能給出一個合理的題目。比如有99頂黑帽子，99頂白帽子，2個人，無論怎么戴，都不可能有人知道自己頭上帽子的顏色。另外，只要不是只有一種顏色的帽子，在只由一個人組成的隊伍里，這個人也是不可能說出自己帽子的顏色的。 但是下面這幾題是合理的題目：1)3頂紅帽子，4頂黑帽子，5頂白帽子，10個人。2)3頂紅帽子，4頂黑帽子，5頂白帽子，8個人。3)n頂黑帽子，n1頂白帽子，n個人（n0）。4)1頂顏色1的帽子，2頂顏色2的帽子，……，99頂顏色99的帽子，100頂顏色100的帽子，共5000個人。5)有紅黃綠三種顏色的帽子各1頂2頂3頂，但具體不知道哪種顏色是幾頂，有6個人。6)有不知多少人（至少兩人）排成一排，有黑白兩種帽子，每種帽子的數目都比人數少1。 大家可以先不看我下面的分析，試著做做這幾題。 如果按照上面3頂黑帽2頂白帽時的推理方法去做，那么10個人就可以把我們累死，別說5000個人了。但是3)中的n是個抽象的數，考慮一下怎么解決這個問題，對解決一般的問題大有好處。 假設現在n個人都已經戴好了帽子，問排在最后的那一個人他頭上的帽子是什么顏色，什么時候他會回答“知道”？很顯然，只有在他看見前面n1個人都戴著白帽時才可能，因為這時所有的n1頂白帽都已用光，在他自己的腦袋上只能頂著黑帽子，只要前面有一頂黑帽子，那么他就無法排除自己頭上是黑帽子的可能——即使他看見前面所有人都是黑帽，他還是有可能戴著第n頂黑帽。 現在假設最后那個人的回答是“不知道”，那么輪到問倒數第二人。根據最后面那位的回答，他能推斷出什么呢？如果他看見的都是白帽，那么他立刻可以推斷出自己戴的是黑帽——要是他也戴著白帽，那么最后那人應該看見一片白帽，問到他時他就該回答“知道”了。但是如果倒數第二人看見前面至少有一頂黑帽，他就無法作出判斷——他有可能戴著白帽，但是他前面的那些黑帽使得最后那人無法回答“知道”；他自然也有可能戴著黑帽。 這樣的推理可以繼續下去，但是我們已經看出了苗頭。最后那個人可以回答“知道”當且僅當他看見的全是白帽，所以他回答“不知道”當且僅當他至少看見了一頂黑帽。這就是所有帽子顏色問題的關鍵！ 如果最后一個人回答“不知道”，那么他至少看見了一頂黑帽，所以如果倒數第二人看見的都是白帽，那么最后那個人看見的至少一頂黑帽在哪里呢？不會在別處，只能在倒數第二人自己的頭上。這樣的推理繼續下去，對于隊列中的每一個人來說就成了： “在我后面的所有人都看見了至少一頂黑帽，否則的話他們就會按照相同的判斷斷定自己戴的是黑帽，所以如果我看見前面的人戴的全是白帽的話，我頭上一定戴著我身后那個人看見的那頂黑帽。” 我們知道最前面的那個人什么帽子都看不見，就不用說看見黑帽了，所以如果他身后的所有人都回答說“不知道”，那么按照上面的推理，他可以確定自己戴的是黑帽，因為他身后的人必定看見了一頂黑帽——只能是第一個人他自己頭上的那頂。事實上很明顯，第一個說出自己頭上是什么顏色帽子的那個人，就是從隊首數起的第一個戴黑帽子的人，也就是那個從隊尾數起第一個看見前面所有人都戴白帽子的人。 這樣的推理也許讓人覺得有點循環論證的味道，因為上面那段推理中包含了“如果別人也使用相同的推理”這樣的意思，在邏輯上這樣的自指式命題有點危險。但是其實這里沒有循環論證，這是類似數學歸納法的推理，每個人的推理都建立在他后面那些人的推理上，而對于最后一個人來說，他的身后沒有人，所以他的推理不依賴于其他人的推理就可以成立，是歸納中的第一個推理。稍微思考一下，我們就可以把上面的論證改得適合于任何多種顏色的推論： “如果我們可以從假設斷定某種顏色的帽子一定會在隊列中出現，從隊尾數起第一個看不見這種顏色的帽子的人就立刻可以根據和此論證相同的論證來作出判斷，他戴的是這種顏色的帽子。現在所有我身后的人都回答不知道，所以我身后的人也看見了此種顏色的帽子。如果在我前面我見不到此顏色的帽子，那么一定是我戴著這種顏色的帽子。” 當然第一個人的初始推理相當簡單：“隊列中一定有人戴這種顏色的帽子，現在我看不見前面有人戴這顏色的帽子，那它只能是戴在我的頭上了。” 對于題1)事情就變得很明顯，3頂紅帽子，4頂黑帽子，5頂白帽子給10個人戴，隊列中每種顏色至少都該有一頂，于是從隊尾數起第一個看不見某種顏色的帽子的人就能夠斷定他自己戴著這種顏色的帽子，通過這點我們也可以看到，最多問到從隊首數起的第三人時，就應該有人回答“知道”了，因為從隊首數起的第三人最多只能看見兩頂帽子，所以最多看見兩種顏色，如果他后面的人都回答“不知道”，那么他前面一定有兩種顏色的帽子，而他頭上戴的一定是他看不見的那種顏色的帽子。 題2)也一樣，3頂紅帽子，4頂黑帽子，5頂白帽子給8個人戴，那么隊列中一定至少有一頂白帽子，因為其它顏色加起來一共才7頂，所以隊列中一定會有人回答“知道”。 題4)的規模大了一點，但是道理和2)完全一樣。100種顏色的5050頂帽子給5000人戴，前面99種顏色的帽子數量是1 …… 99=4950，所以隊列中一定有第100種顏色的帽子（至少有50頂），所以如果自己身后的人都回答“不知道”，那么那個看不見顏色100帽子的人就可以斷定自己戴著這種顏色的帽子。 至于5)、6)“有紅黃綠三種顏色的帽子各1頂2頂3頂，但具體不知道哪種顏色是幾頂，有6個人”以及“有不知多少人排成一排，有黑白兩種帽子，每種帽子的數目都比人數少1”，原理完全相同，我就不具體分析了。 最后要指出的一點是，上面我們只是論證了，如果我們可以根據各種顏色帽子的數量和隊列中的人數判斷出在隊列中至少有一頂某種顏色的帽子，那么一定有一人可以判斷出自己頭上的帽子的顏色。因為如果所有身后的人都回答“不知道”的話，那個從隊尾數起第一個看不見這種顏色的帽子的人就可以判斷自己戴了此顏色的帽子。但是這并不是說在詢問中一定是由他來回答“知道”的，因為還可能有其他的方法來判斷自己頭上帽子的顏色。比如說在題2)中，如果隊列如下：（箭頭表示隊列中人臉朝的方向） 白白黑黑黑黑紅紅紅白→那么在隊尾第一人就立刻可以回答他頭上的是白帽，因為他看見了所有的3頂紅帽子和4頂黑帽子，能留給他自己戴的只能是白帽子了 【69】假設排列著100個乒乓球，由兩個人輪流拿球裝入口袋，能拿到第100個乒乓球的人為勝利者。條件是：每次拿球者至少要拿1個，但最多不能超過5個，問：如果你是最先拿球的人，你該拿幾個？以后怎么拿就能保證你能得到第100個乒乓球？ 拿出4個, 然后按照6的倍數和另外一人分別拿球. 即 另外一人拿1個, 我拿5個 另外一人拿2個, 我拿4個 另外一人拿3個, 我拿3個 另外一人拿4個, 我拿2個 另外一人拿5個, 我拿1個. 最終100個在我手上.首先拿4個 別人拿n個你就拿6－n個【70】盧姆教授說：“有一次 我目擊了兩只山羊的一場殊死決斗，結果引出了一個有趣的數學問題。我的一位鄰居有一只山羊，重54磅，它已有好幾個季度在附近山區稱王稱霸。后來某個好事 之徒引進了一只新的山羊，比它還要重出3磅。開始時，它們相安無事，彼此和諧相處。可是有一天，較輕的那只山羊站在陡峭的山路頂上，向它的競爭對手猛撲過 去，那對手站在土丘上迎接挑戰，而挑戰者顯然擁有居高臨下的優勢。不幸的是，由于猛烈碰撞，兩只山羊都一命嗚呼了。現在要講一講本題的奇妙之處。對飼養山羊頗有研究，還寫過書的喬治．阿伯克龍比說道：“通過反復實驗，我發現，動量相當于一個自20英尺高處墜落下來 的30磅重物的一次撞擊，正好可以打碎山羊的腦殼，致它死命。”如果他說得不錯，那么這兩只山羊至少要有多大的逼近速度，才能相互撞破腦殼？你能算出來 嗎？ 1英尺（ft）=（m） 1磅（lb）=（kg） 通過實驗得到撞破腦殼所需要的機械能是mgh=（30*）**（20*）=（J）對于兩只山羊撞擊瞬間來說，比較重的那只僅僅是站在原地，只有較輕的山羊具有速度，而題目中暗示我們，兩只羊僅一次碰撞致死。現在我們只需要求得碰撞瞬間輕山羊的瞬時速度就可以了，根據機械能守恒定律:mgh=1/2(m1v^2)可以得出速度。m1是輕山羊的重量。【71】據說有人給酒肆的老板娘出了一個難題：此人明明知道店里只有兩個舀酒的勺子，分別能舀7兩和11兩酒，卻硬要老板娘賣給他2兩酒。聰明的老板娘毫不含糊，用這兩個勺子在酒缸里舀酒，并倒來倒去，居然量出了2兩酒，聰明的你能做到嗎？ 7兩倒入11兩, 再用7兩倒入11兩裝滿, 7兩中剩余3兩, 倒出11兩, 將3兩倒入11兩, 用7兩兩次倒入11兩裝滿, 7兩中剩余6兩, 將11兩倒出, 將6兩倒入, 然后用7兩倒入11兩, 剩余2兩. 于是得到. 11,04,74,00,411,48,78,01,71,00,111,15,75,00,511,59,79,02,7【72】已知： 每個飛機只有一個油箱， 飛機之間可以相互加油（注意是相互，沒有加油機） 一箱油可供一架飛機繞地球飛半圈，問題：為使至少一架飛機繞地球一圈回到起飛時的飛機場，至少需要出動幾架飛機？（所有飛機從同一機場起飛，而且必須安全 返回機場，不允許中途降落，中間沒有飛機場） 需要4飛機. 假設需要三架飛機,編號為1,2,3. 三架同時起飛, 飛到1/8 圈處, 1號飛機,給2號,3號,飛機各加上1/8 圈的油, 剛好飛回基地,此時1號,2號滿油,繼續前飛。 飛到2/8 圈時候,2號飛機給1號飛機加油1/8圈油量,剛好飛回基地, 3號飛機滿油,繼續向前飛行, 到達6/8處無油。 , 加油1/6圈給給2號飛機, 2號飛機向前飛行X圈, 則3號飛機可向前繼續送油, 1/6 –2X 圈. 此時3號剛好飛回, = 1/62X時候獲得最大. X =1/18. 1/6 1/18= 2/ 9. 少于1/4. 所以不能完成. 類比推,當為4架時, 恰好滿足條件.【73】在9個點上畫10條直線，要求每條直線上至少有三個點？, O代表空格. X O X O X O X X X O X O X O X 得到10條.【74】一個岔路口分別通向誠實國和說謊國。來了兩個人，已知一個是誠實國的，另一個是說謊國的。誠實國永遠說實話，說謊國永遠說謊話。現在你要去說謊國，但不知道應該走哪條路，需要問這兩個人。請問應該怎么問？ 我要到你的國家去,請問怎么走?然后走向路人所指方向的相反方向.【75】在一天的24小時之中，時鐘的時針、分針和秒針完全重合在一起的時候有幾次？都分別是什么時間？你怎樣算出來的？ 只有兩次 假設時針的角速度是ω（ω=π/6每小時），則分針的角速度為12ω，秒針的角速度為72ω。分針與時針再次重合的時間為t，則有12ωtωt=2π，t=12/11小時，顯然秒針不與時針分針重合，同樣可以算出其它10次分針與時針重合時秒針都不能與它們重合。只有在正12點和0點時才會重。證明：將時針視為靜止，考察分針，秒針對它的相對速度：12個小時作為時間單位“1”，“圈/12小時”作為速度單位，則分針速度為11，秒針速度為719。由于11與719互質，記12小時/（11*719）為時間單位Δ，則分針與時針重合當且僅當 t=719kΔ k∈Z秒針與時針重合當且僅當 t=11jΔ j∈Z而719與11的最小公倍數為11*719，所以若t=0時三針重合，則下一次三針重合必然在t=11*719*Δ時，即t=12