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數(shù)值分析第四版習(xí)題與答案-資料下載頁

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【正文】 b)列主元消去法解得。2． (a)，故對(duì)稱。(b) 高斯消去法解得。3． (a)，(b)由及(a)的結(jié)論可得, 。4．因?yàn)榉瞧娈悾膶?duì)角元不為零，又分解等價(jià)于高斯消去法，由引理可知，矩陣的順序主子式均不為零。5．高斯消去法第步等價(jià)于左乘單位下三角矩陣，而順序主子式均不為零保證所得矩陣對(duì)角元不為零，可進(jìn)行第步消元。6．，則是對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣，故高斯消去法與部分選主元高斯消去法對(duì)于對(duì)稱的對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣每一步均選取同樣的主元，得出的是同樣的結(jié)果。7． (1)，(2)，又有當(dāng)時(shí)，故是對(duì)稱正定矩陣，(3) ，(4)若，令，由于和也是對(duì)稱正定矩陣，代入得，矛盾，故的絕對(duì)值最大的元素必在對(duì)角線上，(5)，(6)對(duì)所有均有對(duì)稱正定。8．，其中與位置互換。9．對(duì)施行初等列變換，進(jìn)行次初等列變換后，令即為所求。10． (a) 若為階可逆下三角矩陣，則當(dāng)時(shí)，而當(dāng) 時(shí)，算法即從第一行開始順序循環(huán)，同理可知若為階可逆上三角矩陣，則當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)，算法即從最后一行開始逆序循環(huán)，(b)第k步循環(huán)進(jìn)行k次乘除法，共進(jìn)行次乘除法，(c)。11． (a)，由此可知也是對(duì)稱矩陣，由此可知也是對(duì)稱正定矩陣，(b)，得出唯一正對(duì)角元的下三角陣使得。12．。13．。14．。15．按高斯消去法，無法進(jìn)行第二次消去，換行后可以分解，第二次消去可乘任意系數(shù)，分解不唯一，可唯一分解。16．，解得。17．高斯消去法公式中去掉即可推出該公式。18．。19． (a),(b)。20．，，故是上的向量范數(shù)。21．，故，故是上的向量范數(shù)。22．。23．充分性：若有和線性相關(guān)且，即，代入得；唯一性：若有，由于，兩邊同時(shí)平方可得出，消去共同項(xiàng)可得，當(dāng)且僅當(dāng)和線性相關(guān)時(shí)等號(hào)成立。24．以上圖像分別為。25．。26．由向量范數(shù)的相容性可知存在常數(shù)，使得，于是令0，0，則對(duì)任意，均有不等式。27．若，則就有，可推出即，同理可以推出，綜合這兩點(diǎn)即可得。28．。29．，則，故存在。30．，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有最小值7。31． (a) ，(b),。32．。33．。34．。第八章解線性方程組的迭代法習(xí)題參考答案1. (a) Jacobi迭代矩陣特征方程為特征根均小于1，Jacobi迭代法收斂。GaussSeidel迭代矩陣特征方程為特征根均小于1，GaussSeidel迭代法收斂。(b) Jacobi迭代格式為其中B如上，迭代18次得，GaussSeidel迭代格式為其中G如上，迭代8次得。2. 證：，則故，因此，即級(jí)數(shù)收斂。3. 證：設(shè)，一方面，另一方面，因此，即序列收斂于零。4. 證：由已知迭代公式得迭代矩陣則特征多項(xiàng)式為解得，向量序列收斂的充要條件是，即。5. (a) 譜半徑，Jacobi迭代法不收斂；矩陣A對(duì)稱正定，故GaussSeidel迭代法收斂。 (b) 譜半徑，Jacobi迭代法收斂；譜半徑，GaussSeidel迭代法不收斂；6. 證：必要性，則，對(duì)任意向量，有因而有，即。充分性因?qū)θ魏蜗蛄浚加校睿瑒t即當(dāng)時(shí)，的任一列向量的極限為A的對(duì)應(yīng)的列向量，因而有。7. A對(duì)稱正定，Jacobi迭代法不一定收斂，如題5(a)。8. (a) Jacobi迭代矩陣的譜半徑；(b) GaussSeidel迭代矩陣的譜半徑；(c) 兩種方法的譜半徑均小于1，所以兩種方法均收斂。事實(shí)上，對(duì)于方程組，矩陣A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)則Jacobi和GaussSeidel迭代法均收斂。9. 取，迭代公式為使當(dāng)時(shí)迭代終止，取時(shí)，迭代5次達(dá)到；取時(shí)，迭代6次達(dá)到；取時(shí)，迭代6次達(dá)到。10. 迭代公式為取，迭代8次達(dá)到精度要求。11. 證：所給迭代公式的迭代矩陣為，其n個(gè)特征值分別為，當(dāng)時(shí)，有，因而，迭代法收斂。12. 證：(a) 即為GaussSeidel迭代格式。 (b) 由及，可得；其中。 (c) (d)13. (a) 由已知，有，及，則，即由到的迭代矩陣為，所以由到的迭代矩陣為，則迭代方法收斂的充要條件為。 (b) 由已知可推得，所以迭代矩陣為，則迭代方法收斂的充要條件為。由迭代矩陣可以看出，(b)迭代法的收斂速度是(a)的2倍。14. 證：由于，當(dāng)時(shí)，所以A正定。Jacobi迭代矩陣譜半徑為，所以只對(duì)收斂。15. 取排列陣，則A為可約矩陣。16. 證：迭代矩陣的特征方程為，若，則，所以，即對(duì)任給向量，迭代n次后，其中，則即最多迭代n次收斂于方程組的解。17. 用SOR方法解方程組，其中A對(duì)稱正定，數(shù)組x用來存放解向量，用控制迭代終止，k表示迭代次數(shù)。k=0, i=1i=n|P||P0|P0=P。|P0|ε輸出x, k。是否否是18. 證：方程組的SOR迭代矩陣為，特征方程，即，記只要當(dāng)時(shí)，則的根均滿足。A不可約則G也不可約，又A為弱對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣，則當(dāng)且時(shí)，即時(shí)，G為不可約弱對(duì)角占優(yōu)，于是有，故，SOR方法收斂。19. 證：(a) ，設(shè)，則，為對(duì)稱正定陣。 (b) 因?yàn)闉閷?duì)稱陣，所以左右左。20. 證：A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，則存在。第九章矩陣的特征值與特征向量計(jì)算習(xí)題參考答案1．(a)取初始值(1,1,1)得13578(b)取初始值(1,1,1)得15913142．，使得，即，一定存在使得，則，反之，故。3．，由冪法得，原矩陣最接近6的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量為。4．設(shè)特征向量為，則有，解得對(duì)應(yīng)的特征向量為。5．雅可比迭代進(jìn)行五步可得，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，，最優(yōu)值。6．(a) ，正交，則第一列，又是對(duì)稱矩陣，的第一行和第一列除外均為零。(b) 為反射陣，解得。7．由豪斯荷爾德方法得。8．，解得，代入得9.(a)，(b)由可求出初等反射陣，依次類推。10．(a)令，帶位移QR方法計(jì)算可得，(b) 令，帶位移QR方法計(jì)算可得。11．，故有。1. 若不給自己設(shè)限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。2. 若不是心寬似海，哪有人生風(fēng)平浪靜。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時(shí)間，總會(huì)看清一些事。用一些事情，總會(huì)看清一些人。有時(shí)候覺得自己像個(gè)神經(jīng)病。既糾結(jié)了自己，又打擾了別人。努力過后，才知道許多事情，堅(jiān)持堅(jiān)持，就過來了。4. 歲月是無情的，假如你丟給它的是一片空白，它還給你的也是一片空白。歲月是有情的，假如你奉獻(xiàn)給她的是一些色彩，它奉獻(xiàn)給你的也是一些色彩。你必須努力，當(dāng)有一天驀然回首時(shí)，你的回憶里才會(huì)多一些色彩斑斕，少一些蒼白無力。只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。學(xué)習(xí)參考

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